Информация об абсолютном превосходстве по важности

Основанием для вывода об абсолютном превосходстве одних показателей над другими является то, что при предъявлении ЛПР некоторых оценок для их сравнения оно, прежде всего, обращает внимание на значение конкретного, вполне определенного показателя, а затем, если значение этого показателя у нескольких оценок оказалось одинаково, ЛПР обращает внимание на значение другого (также вполне определенного) показателя и т. д.
Отношение обладает свойством связности и не требует однородности частных показателей эффективности. Поэтому связными будут соответствующие отношения предпочтения во множестве стратегий II:
Связное отношение предпочтения на множестве V позволяет сформировать функцию выбора и выделить подмножество наилучших стратегий II ^ э Э V, которые называются лексикографически оптимальными. Поскольку все стратегии из V^ эквивалентны, то в качестве решения можно принять любую из них или привлекать дополнительную информацию при необходимости. Задачи такого типа называются задачами лексикографической оптимизации.
Пример 7. Необходимо сравнить по предпочтительности планы проведения спасательных работ на море. В качестве показателей эффективности плана выбраны: 47 г — вероятность спасения потерпевших за время, не превышающее срок их выживания в экстремальных условиях; 472 — число привлекаемых средств специальной спасательной службы; 473 — число иных привлекаемых к спасению средств.
ЛПР ранжирует указанные показатели следующим образом: №э, Ц72, т. е. ЛПР, прежде Всего, заинтересовано в увеличении показателя 47г, невзирая на затраты средств, а если планы одинаковы по вероятности спасения потерпевших, то ЛПР стремится не привлекать иных средств, кроме спасательных.
Пусть представленные планы и1% и2, «з, щ, характеризуются следующими значениями показателей:   х (их) = (0,92; 15; 1)Т, х (ы2)=(0,92; 8; 6)г, х (ид) = (0,8; 4; 0)г, х М = (0,915; 5; 1)г, х=(0,915; 6; 0)г. Сравнение планов по самому важному показателю приводит к выделению стратегий их й и2. Сравнение недоминируемых по первому показателю планов «1, требует отдать предпочтение плану.
Информация является сильной в том смысле, что для дискретных множеств стратегий II она дает возможность практически всегда выделять единственное решение.
Часто применяют прием сведения задачи принятия решения с векторным показателем эффективности, компоненты которого различаются по важности к лексикографической задаче. В этом случае на значения частных показателей накладывают ограничения по минимально допустимым для них уровням 47{ > 47™1п, I = 1, т, а сами показатели ранжируют. Пусть самый важный показатель есть 47 г, затем 472,   а наименее важным является 47т. Тогда вначале стремятся достигнуть величины- ДО7!11111 по первому показателю (или немного превысить его, 47г = Н7™1п-+ е), затем — величины 47^п по второму показателю при условии, что 47у и т. д. Этот прием формально соответствует преобразованию исходного показателя 47 с компонентами 471, I= 1, т в новый показатель с компонентами. Если для каждого из частных показателей помимо минимально допустимого уровня 471 можно указать и вполне удовлетворительное его значение, то после достижения каждым из показателей минимального уровня можно стремиться к поочередному их увеличению к уровню 1У^ат. В этом случае вместо исходного показателя 47 размерности т используется новый показатель размерности 2-т с компонентами 471 и 471, где 47 = тт { 47 де^АТ}, 4=1, т, причем частные показатели 471 лексикографически важнее частных показателей.
На рис. 9 показаны прием сведения исходной задачи с векторным показателем 47, на компоненты 47% которого наложены ограничения по минимальному Ц?™*11 и удовлетворительному уровню, к задаче лексикографической оптимизации и последовательность получения решения и*. При этом предполагается, что имеется информация позволяющая строго ранжировать исходные показатели в следующем порядка. На первом шаге стратегия и^ выбирается (движение показано штриховой линией со стрелкой) из условия обеспечения минимально допустимого уровня по показателю при этом соответствующие значения отмечены на рисунке крестиком. На втором шаге ищется стратегия, обеспечивающая значение показателя при условии, что, то на третьем шаге отыскивается стратегия, обеспечивающая при условии. На четвертом шаге  равенство Ц7Я его удовлетворительному значению (отмечено крестиком). Из определения отношения нестрогого предпочтения на множестве стратегий с учетом правила следует, что лексикографическая задача оптимизации может быть декомпозирована на иерархию скалярных задач оптимизации типа (принято, что первый показатель важнее второго, второй — третьего и т. д.).
Последовательное решение задач оптимизации из системы (12.56) проводят до тех пор, пока для некоторого номера = 1, т 1 мощность множества 11} не окажется равной единице. В этом случае последующие задачи оптимизации не решают, и и* = = II*. Если последняя задача оптимизации имеет несколько решений II^, эквивалентных между собой, то в качестве и* выбирают либо любое из и ^ либо проводят дополнительный содержательный анализ стратегий из для установления предпочтений на них.
В общем случае задача (12.55) для множества И, обладающего мощностью континуума, может оказаться неустойчивой в том смысле, что небольшие изменения характеристик стратегии и приводят к выделению в качестве лексикографически оптимальных других стратегий, у которых значения первого показателя изменяются незначительно, а остальные — изменяются сильно. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо учитывать эту особенность.
Лексикографические задачи с дискретным конечным множеством стратегий обычно устойчивы в указанном выше смысле. Для их решения используют следующий одношаговый метод [53]:
В задачах проектирования технических систем иногда заранее неясно, можно ли удовлетворить одновременно всем ограничивающим требованиям технического задания. Например, требуется спроектировать техническое устройство максимальной производительности (единственный показатель ~ ф (X)) при ограничениях на его массу, габариты (Л) = 0, уровень звука (X) <0, где X — конструкционные параметры устройства. Заранее нельзя сказать, совместна ли система ограничений.
Решением задачи является х* ^ 6 И1» Функция [ (X) может и не иметь участков, соответствующих ее нулевому значению (рис. 10, б), т. е. система ограничений задачи (12.61) несовместна. В этом случае множество Х° = {х : гтп / (х)} будет обеспечивать наименьшую невязку, а х* € . Х° — максимальное значение целевой функции на множестве Х°. Рис. 10, б и в иллюстрируют некоторые отрицательные стороны лексикографической постановки задачи оптимизации. Например, в точке;;* на рис. 10, б достигается минимум функции невязки, а целевая функция имеет в этой точке значение, отмеченное звездочкой. Лексикографическая постановка не позволяет использовать в качестве решения точку Я*, в которой Ф (Я*) > Ф (я*), хотя разница между значениями функции невязки в этих точках может оказаться сколь угодно малой: [(%*)— ! (**) < е. Если задача векторная [техническое устройство характеризуется, например, двумя показателями Щ = <р2(х) (см. рис. 10, в)], то даже При выполнении всех ограничений (/ (д) = 0) назначение показателя ИР1 в качестве самого важного не позволяет использовать в качестве решения точку х*, в которой достигается наибольшее значение второго показателя, в то время как значение первого снижается лишь на величину е, которая может быть сколь угодно мала.
Информация о недопустимости компенсации уменьшения меньших значений одинаково важных показателей сколь угодно значительным увеличением больших. Основанием для вынесения суждения о запрете компенсации уменьшения меньших компонент векторного показателя сколь угодно большим увеличением других компонент может служить тот факт, что при сравнении по предпочтительности двух произвольных стратегий, характеризуемых наборами равноценных частных показателей, ЛПР, прежде всего, обращает внимание на компоненты, имеющие самые малые значения. Если у векторных оценок самые малые значения компонент равны, то ЛПР принимает во внимание следующие по величине компоненты и т. д.
Таким образом, информация 81, является более сильной, чем информация о равноценности всех показателей, и более простой, чем информация Ь. Эта информация является достаточно полной для выделения единственного решения, поскольку на множестве векторных оценок отношение строгого предпочтения задается следующим образом.