Задачи принятия решений в условиях «природной» неопределенности

Для задач принятия решения этого типа основным является принцип наибольшего гарантированного результата. При этом в зависимости от информации 0Н гарантированный результат понимается по-разному.
Рассмотрим способы формирования гарантированного результата сначала для задач со скалярной характеристикой исхода.
Если ЛПР не склонно к не стохастическому риску, т. е. оно всегда предпочитает ориентироваться на самые неблагоприятные значения фактора X, то в качестве показателя эффективности следует использовать функцию соответствия (13.82).
Максиминное правило ориентировано на «наихудшие» значения неопределенного фактора и в этом смысле является консервативным, т. е. его следует применять в том случае, когда «неуспех» операции крайне нежелателен независимо от того, каковы могут быть «наилучшие» исходы.
Пример 11. Значения возможных характеристик у исхода для двух стратегий ЛПР и двух состояний природы заданы таблицей исходов.
Тогда 47 (иА) = а, Л7 (щ) = 1. Следовательно, наилучшей стратегией по критерию (87) является щ независимо от того, что разность 1 — а может быть сколь угодно малой, хотя стратегия их может привести к исходу У («1. *2> = Ю00.
Если информация 6Н указывает на то, что для ЛПР не безразлична величина возможного выигрыша (т. е. он «боится» мало выиграть), то в этом случае в качестве показателя следует использовать функцию (13.83). По смыслу эта функция задает максимальные потери, связанные с конкретно выбранным решением. Поэтому критерий выбора стратегии основывается на минимизации этих потерь.
Это правило носит название критерия минимаксного сожаления (критерий Сэвиджа).
Пример 12. В условиях примера 11 матрица потерь («сожалений»), вычисляемых как тах у (о, X) — у (и, X), имеет вид ЛПР не испытывает «сожалений» лишь в ситуациях. А «сожаления» в других ситуациях для каждой из стратегий существенно различны. Следовательно, при выборе стратегии по критерию Сэвиджа ЛПР должно ориентироваться на наименьшее из максиминных по X сожалений, т. е.
Критерий Сэвиджа чувствителен к исходному множеству стратегий V.
Пример 13. Пусть множество стратегий состоит из трех альтернатив, причем их и щ соответствуют примеру 12, а щ приводит к ситуациям: и критерий (13.88) приводит к и* = и%. Однако, если по какой-либо причине стратегия и$ не может быть реализована, т. е. {/<*> = 1/\и3, то стратегия щ перестает быть оптимальной (см. предыдущий пример).
Таким образом, критерий Сэвиджа не обладает свойством независимости от дополнительных альтернатив.
Максимйнный критерий и критерий Сэвиджа являются слишком категоричными в том смысле, что один ориентируется только на наихудший результат, а другой на максимальные потери. Поэтому, если информация 0Н указывает на то, что ЛПР «боится,не только мало выиграть, но и боится много проиграть», то его отношение к нестохастическому риску можно охарактеризовать как пессимистически-оптимистическое. В этом случае обычно используют функцию (13.84), в которой коэффициент у носит название коэффициента пессимизма—оптимизма Гурвица.
Если у = 1, то отношение ЛПР к риску характеризуется крайним пессимизмом и критерий Гурвица вырождается в максиминное правило (13.87). Если V “ 0, то ЛПР крайне оптимистично в своих предположениях о значениях X, ориентируется только на наилучшие результаты, что приводит к максимаксному критерию.
При выборе коэффициента V обычно используют эвристические методы, основанные на учете информации о приемлемости для ЛПР наихудших и наилучших состояний фактора X. В качестве первого приближения может быть взята оценка коэффициента 7, полученная из условия.
Критерий Гурвица ставит в соответствие каждой стратегии линейную комбинацию только наихудшего и только наилучшего значений характеристики исхода. Это приводит к тому, что явно различающиеся даже по здравому смыслу стратегии могут иметь одинаковую оценку по критерию Гурвица.
Пример 14. Возможные исходы операции для двух стратегий и четырех возможных состояний X характеризуются матрицей значений.
Следовательно, при любом у стратегии их и щ эквивалентны в ,смысле критерия Гурвица. Хотя здравый смысл подсказывает, что стратегия и? предпочтительнее и1#
Для устранения отмеченного недостатка можно рекомендовать два приема модификации критерия Гурвица. Во-первых, каждой стратегии можно поставить в соответствие свой коэффициент пессимизма-оптимизма, т. е.
Во-вторых, рассмотреть задачу как векторную и воспользоваться, например, методом главного показателя. В этом случае в качестве главного показателя используется (13.84), а в качестве дополнительного — рандомизированный средний выигрыш» на который накладывается ограничение, т. е.
В (13.91) в качестве порогового значения Ь целесообразно выбирать величину у из условия (13.89).
Сужение исходного множества V до более узкого подмножества и(1) можно осуществлять, если имеется качественная информация о степени возможности состояний X ^ Л}Г. Эта информация задается в форме элементарных суждений типа: «состояние X* более возможно, чем X]», «состояния Х| и Ху возможны в одинаковой степени», «группа состояний Л! более возможна по сравнению с группой состояний Л2» и т. п. В этом случае формально каждой стратегии и 1} ставится в соответствие векторная оценка у (и) =(у(и, Х^, У (и. >,), у (и, Х*))7, компоненты которой различаются по важности (в смысле большей или меньшей возможности реализации состояний X*). Такой прием позволяет использовать технику выделения омега-эффективных стратегий, которые образуют подмножество 1/(1К
Если ЛПР считает, что ни одно из состояний X ^ Лу не следует рассматривать как более возможное по сравнению с любым другим, то омега-информация есть информация о равноценности (равно-возможности) состояний X. В этом случае можно ввести порядковые коэффициенты «важности» состояний X и, учитывая коргимирующее условие 2 а = положить их равными.
Тогда решение может быть получено по скалярному показателю с использованием сверток типа (13.61)—(13.63).
Задача нахождения «наилучшей» стратегии и в условиях нестохастической неопределенности может быть решена с использованием аналога показателя вероятностной гарантии:
Пример 16. В условиях примера 9 руководством предприятия принято решение о запуске в серийное производство новой модели. Необходимо принять решение об объеме серии. Прогноз показывает, что спрос на новую модель составит примерно 3000 комплектов при условии, что розничная цена С будет не выше 750 р. На основе проведенного математического моделирования получена регрессионная модель полных затрат, связанных с производством и продажей х комплектов изделий.
В качестве альтернативных стратегий рассматриваются объемы выпусков х : щ = 1000, «а = 3000, щ = 5000, щ = 7000 комплектов.
В качестве критерия эффективности используется правило (13.95), (13.96) с характеристикой исхода: который характеризует чистую прибыль предприятия. На рис. 15 представлен график функции принадлежности (к) уровня спроса и выделены значения для соответствующих рассматриваемым стратегиям (указаны в скобках). В табл. 5 приведены результаты расчетов. Анализ этой таблицы показывает, что «наилучшей» стратегией является стратегия «з.
Иногда не удается интерпретировать значения функции принадлежности как элементы субъективного распределения вероятностей на состояниях кг ^ Лу . В этом случае может быть применен подход, основанный на построении функции принадлежности отображения Н V X Л - У (О) с последующим ее содержательным анализом для принятия решений. В этом случае отображение Н (при условии, что Я — нечетко заданный фактор) есть отображение нечетких множеств.
Нечеткое отображение формально описывается как отображение, при котором элементу Я ^ ставится в соответствие не конкретный элемент множества У, а его нечеткое подмножество. Если при фиксированной стратегии и ^ Ц отображение Я можно представить как у = Н (Я), то функция принадлежности преобразования у — кх совпадает с функцией принадлежности переменной х в масштабе, увеличенном в к раз, а |х (у) при у — х + а эквивалентна исходной функции ц (х), сдвинутой на величину а.