Функция выбора и ядро отношения

Необходимость формализации предпочтений ЛПР для постановки и решения прикладных задач выбора наилучшей альтернативы требует измерения предпочтений для использования их во вложенной процедуре поэтапного выбора с последовательным отбрасыванием части стратегий и сведением к минимуму тельного подмножества альтернатив, которые в идеале должны оказаться эквивалентными. Это наиболее рациональный принцип выбора стратегии^
В зависимости от «близости» выявленного отношения предпочтения ЛПР к «идеальной» структуре системы предпочтений, приводящей к однозначному выбору, мощность выделяемого конечного подмножества Г)* СЮ, служит мерой совершенства выявленной системы предпочтений.
Наиболее совершенным является отношение связного квазипорядка. Оно позволяет в максимальной степени сузить множество О*, в которое будут включаться только так называемые наилучшие элементы. Элемент называется наилучшим во множестве О, если он не менее предпочтителен любого другого элемента.
Наилучший элемент в этом случае «единственен» с точностью до эквивалентности: если с1%, (1% —два наилучших элемента, то ~
Отношение связного квазипорядка ставит в соответствие множеству И подмножество его наилучших объектов И* = {А*}. Это соответствие называется функцией выбора.
Если множество й* не пусто, то выбор осуществляется только среди этих наилучших элементов ,й* ^ й*. В случае нарушения связности множество оказывается пустым. Например, как для графа на рис. 1,а.
Для сужения исходного множества И это вынуждает оперировать лишь частью отношения нестрогого предпочтения и выделять так называемые недоминируемые (максимальные) элементы. Элемент называется недоминируемым по отношению строгого предпочтения если среди остальных элементов множества Г) не существует ни одного элемента й ^ который был бы строго предпочтительнее элемента. Поскольку отношение строгого предпочтения есть лишь строгий частичный порядок, то таких элементов может быть несколько. Подмножество недоминируемых элементов называется ядром отношения: строгого предпочтения на множестве.
Для графа, изображенного на рис. 1, а, — {И?!, У4}. Из определения наилучшего и недоминируемого элементов непосредственно следует, что наилучший объект всегда является и недоминируемым, а обратное утверждение неверно.
При поэтапном использовании информации от ЛПР исходное отношение строгого предпочтения У-1 может быть расширен. В этом случае оказывается, что ММ_^, т. е. элемент, недоминируемый по отношению >-2, является недоминируемым и по отношению >-1. Это и объясняет смысл «вложенности» процедуры поэтапного выбора с последовательным отбрасыванием части альтернатив.
Для нечетких отношений однозначно определяется лишь полное отсутствие связности, то на каждом шаге можно выделять лишь недоминируемое множество альтернатив, используя нечеткое отношение строгого предпочтения.
функцию принадлежности нечеткого множества элементов й, которые строго доминируются элементом д! [80]. Тогда ядро нечеткого отношения строгого предпочтения Мп представляет собой пересечение дополнений, введенных в ^ подмножеств с функциями принадлежности М (й\ й):
Анализ ядра нечеткого отношения показывает, что наибольшей степенью недоминируемости обладают показатели и 1Г4, причем показатель четко не доминируется. Замена нечеткого отношения приводящего к ядру.
нечетким отношением с нечетким ядром привела к сходным результатам (наибольшей степенью недоминируемости обладают показатели и №4). Но, кроме того, более «тонкая» информация о предпочтениях, заданная «размытым» отношением К>9 позволяет утверждать, что более предпочтительным (по степени недоминируемости) является показатель В этом случае показатель называется четко недоминируемым элементом.
Подобные элементы в течение в задачах принятия решений, так как подмножество таких элементов (если их несколько) рассматривают в некотором смысле как подмножество наилучших элементов или как четкое решение нечетко поставленной задачи выбора.
При Л-связном нечетком отношении нестрогого предпочтения Я> любые два элемента д.т, сИ € О, являющиеся четко недоминируемыми, эквивалентны со степенью, большей Н. При слабой связности нечеткого отношения Я> любые два четко недоминируемые элемента эквивалентны с положительной степенью. При сильно связном нечетком отношении любые элементы йт\, ^ И определенно эквивалентны (со степенью 1), т. е. выбор любого из них является обоснованным в данной задаче, а их множество есть множество наилучших элементов.