Отношения

Кроме рассмотренных выше элементарных суждений для математического описания предпочтений в моделях принятия решений используется универсальное их представление в виде отношений.
Отношение — это математическое понятие для обозначения подмножества прямого декартова произведения множеств.
Наиболее употребительными в практике принятия решений являются бинарные отношения, так как они хорошо связываются с традиционными способами выражения элементарных суждений.
Бинарным отношением Я на множестве элементов ^ называется подмножество упорядоченных пар (*Г, й”) множества ИХ И всех таких пар.
Символом ИХ И обозначают прямое декартово произведение. Элементами множества О могут быть, например, исходы операции (в этом случае И = = О). Если декартово произведение состоит более чем из двух «сомножителей» (ОХЯХ1), ОхЯХОХО, ...), то его элементами являются упорядоченные тройки, четверки элементов и т. д. В этом случае принципиально можно рассматривать тернарные, тетрарные и другие отношения.
Бинарные отношения могут быть использованы для универсального описания связей между элементами различной природы: для описания связности электрических и информационных сетей, иерархических структур управления и т. п.
Бинарные отношения есть множества специального вида, поэтому их описание основывается на обычных способах задания множеств: перечислением элементов множества Я, указанием общих свойств этих элементов, графом, матрицей смежности, подмножеством точек в декартовой системе координат.
Пример 3. Пусть Я выражает мнение ЛПР о том, что частный показатель У$ не менее предпочтителен, чем показатель У у, для векторного показателя У = (Щ, У2, Г3, Г4), где У* — покупательная способность; Г 2 — себестоимость; У3 — затраты; У4 — время на реализацию стратегии (см. пример 1). ЛПР, например, считает, что увеличение покупательной способности не менее предпочтительнее снижения себестоимости и затрат, а снижение себестоимости, в свою очередь, не менее предпочтительнее снижения затрат (при условии, что затраты не превышают допустимой нормы); фактор времени при этом не менее важнее снижения себестоимости и затрат. В этом случае отношение Я можно записать:
— как прямое перечисление показателей, связанных введенным отношением;
Д={(У,-, У/)|У|, У/ 6 У; У
не менее предпочтительнее (важнее), чем У у} — как указание общих свойств элементов.
Это же отношение может быть представлено в виде графа, матрицы смежности и множеством точек в декартовой системе координат (соответственно случай а—в на рис. 1); направление стрелок на рис. 1, а соответствует направлениям рассматриваемого предпочтения между элементами, которые они связывают. Петли на графе обозначают тот факт, что элемент не менее предпочтителен самого себя.
С использованием указанных способов графического представления отношений весьма удобно анализировать двух несовпадающих элементов (й, Л') ^ Ь справедливо хотя бы одно из двух утверждений: либо (А, й') ^ Я, либо <2) $ Я- Каждое из свойств бинарных отношений может иметь «антипода». Например, отношение может быть несвязным (рис. 2, 3).
Если отношение справедливо только для несовпадающих элементов из Р, то оно называется антирефлексивным, т. е. из (А', (Г) следует, что а не есть й".
Если отношение Я не является симметричным, то в зависимости от природы элементов д. ^ Ю (числовые или нечисловые характеристики) вводятся свойства антисимметричности (для числовых) и асимметричности (для нечисловых).
Дадим характеристику свойств бинарного отношения на примере рис. 1. Введенное отношение рефлексивно. Признаком этого является наличие петель на графе, единиц — на диагонали матрицы смежности. Отношение Я несвязно (отсутствует стрелка между У» и У4 на графе), транзитивно.
Кроме того, отношение Я асимметрично (граф однонаправленный), область на рис. 1, в геометрически несимметрична относительно диагонали.
Если бы отношение Я рассматривалось только на элементах, то оно обладало бы свойствами рефлексивности, транзитивности и связности.
В теории принятия решений особое место занимают отношения, обладающие специальным набором указанных свойств. Это отношения эквивалентности, строго частичного порядка, квазипорядка и порядка.