Типы задач принятия решения по скалярному показателю в условиях определенности

Выбор метода решения задачи (12.13), (12.14) представляет самостоятельную проблему. Существует множество методов, алгоритмов и процедур решения экстремальных задач. Каждый из них ориентирован на вполне определенный класс задач, а внутри каждого класса — на особенности целевой функции <р (X) и ограничений д (X), к (X), способ их задания и др. Поэтому при определении возможных методов решения экстремальной задачи и выборе наиболее эффективного из них следует вначале определить тип задачи.
Типизация рассматриваемых задач принятия решений проводится по следующим направлениям.
Во-первых, устанавливается наличие или отсутствие зависимости характеристик X стратегии и от времени. Если X = X (/), то задача относится к типу динамических, в противном случае — статических. В динамических задачах целевая функция представляет собой характеристику эффективности процесса (в статических задачах — характеристику явления) и задается в виде, функционала, зависящего от времени. Вектор переменных X (/) в этом случае описывает управляющий процесс. Ограничения в динамической задаче обычно задают как дифференциальные уравнения связи (определяющие движение системы) и краевые условия (см. т. 2).
Во-вторых, устанавливают размерность вектора характеристик X стратегии. При этом выделяют одномерные и многомерные задачи. В некоторых случаях удается свести многомерную задачу принятия решения к одномерной. Это возможно в двух случаях: для статических задач — когда число ограничений-равенств на единицу меньше числа п независимых переменных X}, I = 1, п и можно применить метод исключения для выражения (п — 1) переменной через одну оставшуюся; для динамических задач — когда целевая функция может быть представлена в аддитивной форме или является таковой, процесс может быть разбит на несколько шагов (см. метод динамического программирования, т. 2).
В-третьих, статические задачи принятия решения могут быть с ограничениями-равенствами, неравенствами, с ограничениями обоих типов или без ограничений. Первые три типа относятся к задачам условной оптимизации, последний — к задачам безусловной оптимизации. Иногда удобнее свести исходную задачу условной оптимизации к новой задаче безусловной оптимизации путем агрегирования функции Ф (X) и ограничений д (X), Н (X) в новую целевую функцию.
В-четвертых — по характеру изменения переменных х,-, / = 1, п в области допустимых стратегий. При этом различают дискретные, непрерывные, дискретно-непрерывные, (смешанные) задачи принятия решения. Техника решения дискретных и особенно дискретно-непрерывных задач сложна и трудоемка. Поэтому, если это возможно (по требуемой точности получаемого решения), исходную задачу аппроксимируют непрерывным ее аналогом.
В-пятых, по виду целевой функции и ограничений задачи оптимизации подразделяют на линейные и нелинейные. Если хотя бы одна из функций задачи (12.13)—(12.14) нелинейна, то задача относится к типу нелинейных. Достоинством линейных задач является то, что они являются наиболее полно теоретически обоснованными и для них разработан математический аппарат — линейное программирование (см. т. 2). Однако большинство реальных задач, адекватно описывающих моделируемые явления и процессы, оказываются нелинейными. К особенностям этих задач относится то, что в общем случае область допустимых решений, выделяемая ограничениями, оказывается не слишком «хорошей» (не выпукла, несвязна в математическом смысле), целевая функция ф (X) имеет не один, а несколько экстремумов как внутри, так и вне области. Гарантировать получение точного решения в этом случае нельзя. Однако очень часто решение может быть получено с требуемой точностью. В некоторых частных случаях можно гарантировать точное решение (задачи выпуклого программирования, см. т. 2).
На рис. 1 представлены основные типы задач принятия решения по скалярному показателю в условиях определенности. Каждому типу задач поставлены в соответствие наиболее эффективные методы их решения. Это позволяет легко сориентировать исследователя в выборе конкретного метода по характерным признакам сформулированной им задачи принятия решения. На рисунке приняты следующие обозначения (признаки): Ст — статические задачи принятия решения; Дн — динамические задачи принятия решения; О — одномерные задачи принятия решения; М—многомерные задачи принятия решения; У — задачи принятия решений при наличии ограничений (задачи условной оптимизации);' Б — задачи принятия решений без ограничений (задачи безусловной оптимизации); Я — переменные, изменяются непрерывно (непрерывные задачи принятия решения); Д — дискретные (или дискретно-непрерывные) задачи принятия решения; Л — линейные задачи принятия решения (задачи линейной оптимизации); Нл — нелинейные задачи принятия решений (задачи нелинейной оптимизации).
Символом «*» на рис. 1 отмечены задачи одномерной линейной оптимизации, которые имеют тривиальное решение на одном из концов отрезка, задающего область ограничений. Например, статическая задача многомерной нелинейной условной оптимизации с параметрами хI = 1, п непрерывного типа может решаться либо классическими методами многомерной оптимизации (если задача достаточно проста и допускает аналитическое решение), либо численными методами нелинейной условной оптимизации (методами нелинейного программирования). Динамическая задача принятия решения может решаться либо путем сведения ее к задаче математического программирования (в общем случае нелинейного), либо специальными методами оптимизации процессов: классическими (вариационное исчисление) и современными методами (метод динамического программирования Веллмана; методы сетевого планирования и управления; методы, основанные на использовании принципа максимума Понтрягина).
Из методов, представленных на рис. 1, классические методы одномерной и многомерной оптимизации, методы линейного программирования, метод динамического программирования изложены в т. 2.