Транзитивность
Нечеткое отношение Я, заданное на множестве О, называется транзитивным, если для любых трех пар из произвольных элементов д., д!, д? ^ Б выполняется условие
Например, транзитивным нечетким отношением является «один показатель много важнее другого».
Нечеткое отношение Я транзитивно, если Я <8> Я ^ Я, т. е. свойство транзитивности зависит от способа определения произведения нечетких отношений: максиминное, минимаксное, максимультипликативное. В дальнейшем везде используется максимальная форма представления произведения, так как она более близко связана с обычной операцией произведения четких отношений.
Примером анти-рефлексивного отношения может служить высказывание «один показатель важнее другого». Дополнение рефлексивного отношения является анти-рефлексивным.
Нечеткое отношение Я является асимметричным, если для любых элементов А, й' % й из условия (й, д!) > 0 следует, что 6) = 0.
Примером такого отношения является «один показатель важнее другого».
По аналогии с транзитивным замыканием обычного бинарного отношения вводится транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения.
Пример в. Рассмотрим операцию транзитивного замыкания для введенного отношения Я на графе.
Аналогом системы предпочтений для задач принятия решений с нечетко выраженным отношением предпочтения служит одно из трех возможных нечетких высказываний ЛПР при попарном сравнении двух произвольных элементов из предъявленного множества: а) первый элемент «не хуже» второго; б) оба предъявленных элемента «примерно одинаковы»; в) второй элемент «не хуже» первого; причем каждое из этих суждений может быть описано значениями функции принадлежности.