Одношаговые методы решения задач с векторным показателем эффективности

Сущность одношаговых методов состоит в следующем: векторный показатель эффективности тем или иным способом преобразуется в скалярную целевую функцию, а затем решается задача оптимизации. При этом предполагается, что от ЛПР может быть получена вся необходимая информация для построения обобщенной функции. Эта информация является весьма «сильной», а получить ее достаточно сложно. Поэтому использование одношаговых методов может считаться корректным лишь в том случае, когда ЛПР четко представляет, к каким последствиям приводит использование того или иного вида функции агрегирования, т. е. какова допустимая с его точки зрения степень компенсации уменьшения значений одних показателей увеличением других при использовании данной агрегирующей функции.
Метод обобщенного (агрегированного) показателя. Рассмотрим наиболее часто используемые виды функции агрегирования.
Если из существа задачи может считаться допустимым, что абсолютное уменьшение одного из показателей может быть компенсировано суммарным абсолютным увеличением других (показатели однородны), то в качестве функции агрегирования может быть принята аддитивная функция, где у — коэффициент относительной важности частного показателя
Задачи такого типа встречаются часто и связаны с показателями прибыли, денежных или временных затрат по годам, этапам жизненного цикла и т. д.
Иногда допустимой может считаться не абсолютная, а относительная компенсация изменения значений одних показателей другими, т. е. ЛПР согласно на то, что суммарный уровень относительного снижения одних показателей эквивалентен суммарному уровню относительного увеличения остальных. Это приводит к мультипликативной функции агрегирования вида
Использование обобщенного показателя (12.78) приводит к тому, что недостаточная величина одного частного показателя компенсируется избыточной величиной другого, а выделяемые решения обладают примерно одинаковыми уровнями значений частных показателей (при одинаковых их весах.
Если из существа задачи следует полная недопустимость компенсации значений одних показателей другими, т. е. требуется обеспечить равномерное «подтягивание» всех показателей к их наилучшему уровню, то используют агрегирующую функцию следующего вида:
Такой показатель используется в задачах планирования по «узкому месту».
Общим случаем функции агрегирования является средняя степенная функция значений одних равноценных показателей большими значениями других показателей (чем больше р, тем больше Степень возможной компенсации).
Например, если (не допускается никакая компенсация и требуется равномерное «подтягивание»), то предельный вид агрегирующей функции (12.80) совпадает с (12.79); если р (т. е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней частных показателей), то предельный вид агрегирующей функции совпадает. При р = 1 получается аддитивная функция. Во всех этих случаях, которые широко используются в задачах математической статистики и теории автоматического регулирования.
Если из существа задачи может считаться допустимым увеличение одного из показателей ценой любого уменьшения значений других.
Функции агрегирования (12.78), (12.79), (12.83) могут быть использованы и для неоднородных показателей эффективности. В этом случае коэффициенты у. суть весовые размерные коэффициенты, показывающие «ценность» единицы 1-го показателя. Однако получить размерные весовые коэффициенты трудно. Поэтому чаще всего используют однородные показатели и коэффициенты их относительной важности.
Если из существа задачи следует, что одни показатели желательно увеличивать, а другие — уменьшать, то иногда используют функцию агрегирования в виде отношения одних показателей к другим, например, где I = 1 ,т1 — номера показателей, значения которых желательно увеличивать, а I = т1 + 1, т — уменьшать. Часто первая группа показателей отождествляется с целевым эффектом, а вторая — с затратами на его достижение. При этом показатели не обязательно должны быть однородными.