Омега-эффективные стратегии

Как правило, множество эффективных стратегий включает достаточно большое число альтернатив, что не позволяет осуществить однозначный выбор. Например, для двумерного дискретного случая математическое ожидание мощности Р множества М1Лт, стремится к величине Игл Р = 1п N. где N — мощность множества допустимых стратегий.
Для дальнейшего сужения множества эффективных стратегий 1/^ необходимо, чтобы информация Й о предпочтениях ЛПР на множестве оценок X векторного показателя УР была шире, чем простое сообщение со0 о взаимной независимости частных показателей. Такой информацией являются сведения ' об относительной важности частных показателей. Соизмеряя влияние изменения одцого показателя по сравнению с другим (другими) на предпочтительность исходов операции, можно определить относительную важность частных показателей. Относительную важность показателей часто измеряют нормированными коэффициентами важности, методами экспертного оценивания. Кроме того, относительную важность показателей учитывают на основе качественной информации, представляющей собой совокупность сообщений о том, что некоторые показатели «равноценны» или же одни «важнее» других [59, 41 ]. Такая информация получается при предъявлении ЛПР векторных оценок х, у $ X и выяснении у него, какую из них он предпочитает. При этом предъявляемые оценки х и у должны удовлетворять двум требованиям. Во-первых, все компоненты векторных оценок должны иметь общую шкалу (быть однородными), во-вторых, в предъявляемых оценках все компоненты, кроме тех, чья относительная важность выясняется, должны быть одинаковыми.
Из исходной оценки х € X путем перестановки компонент эти требования позволяют получить новую оценку г, которая также будет принадлежать X.
Определение 1. Показатели УРГ и УРг имеют одинаковую важность («равноценны»), если эквивалентными по предпочтительности являются оценки х и г = хг*, где символ «~г/» над х означает, что г получается из х перестановкой компонент с номерами г и I.
Качественная информация, полученная на основе определения 1, обозначается символом г©е/.
Определение 2. Показатель УРГ «важнее» показателя УРг, если оценка х, имеющая компоненту хг > х*, предпочтительнее оценки г = хг*
Качественную информацию, полученную на основе определения 2, обозначим символом гсов*. Для того чтобы воспользоваться определениями 1 и 2, необходимо однородные частные показатели привести к однородному виду. В практике используют специальные приемы эквивалентного преобразования частных показателей к единому безразмерному виду. Так, если все исходные показатели УР{, I = I, т имеют количественную шкалу, применяют следующие приемы.
Если удается установить требуемые значения показателей УР%, или известен их некоторый эталонный уровень (например, международный стандарт), то используют преобразование следующего вида: причем №*р Ф 0.
Второй прием основан на нормировании исходных показателей их максимально возможными значениями, которые могут быть установлены либо на основе логического анализа задачи, либо найдены путем решения частной оптимизационной задачи.
Недостатком этого приема является то, что при поиске компромиссного решения тот показатель, который имеет максимальную ненормированную величину, может получить существенный приоритет перед остальными.
Следующий прием основан на нормировании исходных показателей диапазонами их возможного изменения, т. е. либо, где ИР™*11 — минимально допустимое значение 1-го показателя. Этот прием нецелесообразно применять, если диапазоны изменения частных показателей сравнительно малы. В этом случае часто применяют такие преобразования.
Если исходные показатели имеют качественную или смешанные шкалы, то преобразования (12.37)—(12.42) недопустимы. В этом случае используют следующий прием сведения показателей к единой порядковой шкале. Шкалу каждого показателя / = 1, т разбивают на N качественных классов, а классы нумеруют. Экспертным путем осуществляют сортировку значений исходных показателей, относя их к тому или иному классу. В этом случае, т. е. значением однородного показателя эффективности И7* будет номер класса, к которому принадлежит значение Использовать такой прием надо достаточно осторожно, Так как выделяемое решение существенно зависит от числа градаций порядковой шкалы N и адекватности проведенной сортировки.
На основе качественной информации (ое о равноценности или о превосходстве по важности одних однородных показателей над другими строится отношение предпочтения на множестве векторных оценок X, которое затем можно трансформировать на множество стратегий V.
Модель системы предпочтений задается отношениями строгого предпочтения, нестрогого предпочтения и эквивалентности При этом полагается, что информация. Построение модели на множестве значений оценок X одно-родных показателей осуществляют одним из следующих приемов.
Произвольные оценки х, у $ X непосредственно сравнивают по предпочтительности на основе определений.
Использовать качественную информацию об относительной важности частных показателей для установления предпочтительности той или другой оценки из множества X можно лишь тогда, когда она непротиворечива и содержательна. Информация й противоречива, если построенное по ней отношение строгого предпочтения  оказывается рефлексивным. Необходимым и достаточным признаком, указывающим на противоречивость информации О, является существование цикла вида, где г — номер компоненты показателя; щ — сообщения об относительной важности частных показателей, причем хотя бы одно из них сообщение типа.
Информация об относительной важности показателей эффективности содержательна, если с ее помощью можно сравнить хотя бы одну пару оценок, несравнимых по предыдущей информации.
Если непротиворечивая информация Я содержит сведения об относительной важности всех компонент векторного показателя (полное число непротиворечивых сообщений о «равноценности» или «важности» равно т (т — 1)/2), то процедуру построения отношения предпочтения можно осуществить по следующему алгоритму.
Достоинством алгоритма 2 является то, что он может быть сравнительно просто реализован в диалоговой системе анализа решений и не требует от ЛПР получения сильной информации.
Отношения предпочтения, построенные по информации й, на множестве стратегий V задаются правилом.
Поскольку информация й о предпочтениях ЛПР в общем случае не позволяет получить связного отношения нестрогого предпочтения, то можно говорить лишь о множестве нехудших стратегий, векторные оценки которых образуют ядро М 0.
Так как отношение, то множество омега-эффективных стратегий не шире множества эффективных стратегий, т. е. 1/0 = 1/^. Чем более содержательна информация й, тем, как правило, меньше неопределенность выбора.