Методы построения аддитивной функции эффективности

В соответствии с этим существуют два основных метода построения аддитивной функции эффективности — метод совместного шкалирования и метод половинного деления [30]. Первый из них целесообразно использовать при небольшой размерности задачи (т 3-=-5) применительно к функции эффективности в форме (12.98). Второй метод целесообразно использовать при числе частных показателей, большем трех-четырех, применительно к функции эффективности, задаваемой выражениями (12.99), (12.100). Этот метод хотя и экономнее первого, но требует более высокой подготовки ЛПР.
6. Через полученные точки в пространстве х0(х|), I = 1, т провести плавные кривые частных функций эффективности и аппроксимировать их подходящими аналитическими функциями.
7. С помощью частных аналитических функций сформировать аналитическую зависимость для аддитивной функции эффективности вида (12.98).
Проиллюстрируем способ построения аддитивной функции эффективности на примере двумерного показателя эффективности.
Пример 12. Проектируемый самолет характеризуется векторным показателем ХР с компонентами: Х7г — дальность полета без дозаправки, ХУ2 — масса полезной нагрузки. Требуется построить функцию эффективности для принятия решения о выборе варианта проекта, который будет запущен в серию.
Так как частные показатели неоднородны, то предварительно осуществляется перевод их в единую безразмерную шкалу, например, с использованием выражения (12.37). Для эффективного множества недоминируемых проектов самолета значения показателей изменяются в процентах в пределах области Х5АТ = [*1, *т+] X 1*2, х*]’ где XI = 60, х? = 120, х7 = 30, х$ = = 100.
С помощью алгоритма 3 проверим выполнение условия соответственных замещений.
Разбиваем области значений показателей на две части граничными точками х = 80, х'2 = 70. Выбираем величину а — 10 и просим ЛПР указать, насколько необходимо увеличить значение первого показателя (дальность полета) для того, чтобы компенсировать уменьшение массы полезной нагрузки в точке (60, 70)г (рис. 15, а). ЛПР считает, что увеличение дальности примерно на 15 % эквивалентно снижению массы полезной нагрузки на 20 %. Эквивалентность точек (60,70) и (75, 50) отмечена на рисунке двойной стрелкой.
Аналогичный вопрос задается ЛПР для точки (80, 70)7 ЛПР считает, что в этой точке снижение массы полезной нагрузки на 20 % эквивалентно увеличению дальности полета на 20 %. Получаем точку (100, 50)Т
Для точки (60, 100)г от ЛПР получена информация о том, что увеличение дальности полета на 15 % допустимо с его точки зрения в результате снижения грузоподъемности даже на 20 %, т. е. (75, 80)г ~ (60, 100)т
ЛПР предлагают сравнить по предпочтительности точки (80, ЮО)7* и  (100, 80) . ЛПР указывает, что эти точки приблизительно эквивалентны.
Таким образом, условие соответственных замещений выполнено и можно переходить к построению функции эффективности в аддитивной форме.
В соответствии с п. 4 алгоритма 5 при помощи ЛПР определяем величину замещения , которая компенсирует уменьшение значения величины дальности с 75 % в точке (75, 30)г до 60 %. ЛПР считает, что Ь(20' » 40 %. Принимаем /2 (70) = 1. Выполняем п. 5 алгоритма. Полагаем к — 1 и для точки (75, 70)7 с помощью ЛПР определяем величину удовлетворяющую условию (75+ Ь^, 30)г ~ (75, 70)т ЛПР указало, что Ь« 30 %. Тогда /! (105) = 2. Так как = 105 С х\ = 120, то принимаем к — 2.
При помощи ЛПР выбираем величину Ь[2) из условия (105 + 6|2), 30)т ~ (105, 70)т ЛПР указало, что Ь[2) « 25. Принимаем(130) = 3. Так как = 130 > х? = 120, то переходим к построению частной функции по второму показателю V = 2).
Аналогичным образом, выполняя п. 5 алгоритма для / = 2, получаем: &г1) = =' 15 из условия (60, 70+ Ь^1))т ~ — (75, 70)т, /2 (85) = 2, Ь™ = 20 — из условия (60, 85 + Ъ^2))Г — (75, 85)12 (105) = 3.
Нанося полученные точки на графики зависимостей от у[к} и /2 от У2*\ к= 0, 1, 2, 3 и проводя через них гладкие кривые, получаем аппроксимации частных функций (х*) и /г (н) (см- Рис- 15, б, в). На рис. 15, г показаны изокванты полученной аддитивной функции эффективности.
Для проверки непротиворечивости суждений ЛПР воспользуемся информацией, полученной в ходе проверки условий соответственных замещений. Для этого эквивалентные точки, связанные двойной стрелкой на рис. 15, а, перенесены на график изоквант функции эффективности. Пары эквивалентных точек отмечены на рис. 15, г символами. Анализ расположения этих точек показывает, что ранее выявленные предпочтения ЛПР достаточно хорошо согласуются с кривыми равноценности.
Построенная функция эффективности позволяет выделить наилучший проект из эффективного множества альтернативных вариантов. Пусть имеется четыре альтернативных варианта со -значениями показателей эффективности: П71 = (70, 90)г, №п = (90, 85)г, = (95> щТ^ ^1У = (Ш> 60)Г>
Значения функции эффективности для указанных проектов равны:
ИМ70, 90) = Ы70)+Ы90) = 0,65 + 2,13 = 2,78; 17,(90. 85) = Д (90)+ /, (85) = = 1,65 + 2,0 =8 3,66;
лученных коэффициентов и коррекции частных функций эффективности следует провести дополнительный анализ с участием ЛПР. При этом ЛПР просят сравнить по предпочтительности следующие пары оценок:
Х\. = (120, 30, 70)г и Х*3 = (60, 100, Ш)7; Х2+ = (60, 100, 70)г и X*? = (120, 30, 130)7’; Х\ = (60, 30, 130)7" и Х!+2 = (120, 100, 70)г.
По результатам этого сравнения сопоставляют значения отдельных коэффициентов у1 с суммой остальных, т. е.
Кроме того, ЛПР предлагают сравнить по предпочтительности несколько векторных оценок Х= (лгх, х2, хй)г, Уу 2, имеющих одинаковое значение функции эффективности при вычисленных коэффициентах уг По результатам его ответов корректируют вид частных функций эффективности (изменяя только одну из компонент векторной оценки) и значения коэффициентов.