Нечеткие отношения предпочтения и их свойства

С использованием нечетких бинарных отношений в отношении нестрогого предпочтения на множестве И задаются и описываются свойства нечетких отношений строгого предпочтения и отношения безразличия При этом обычно считают, что нечет-
кое отношение нестрогого предпочтения Д> обладает только свойством рефлексивности, т. е., для любых, а для любой пары элементов д!, й" ^ Г) значение функции принадлежности, понимается как степень выполнения предпочтения «элемент «не хуже» элемента Л.
По заданному нечеткому отношению /? нечеткие отношения /?>_ и определяются следующим образом.
Нечеткое отношение строгого предпочтения имеет функцию принадлежности:
Помимо отношения безразличия, которое транзитивно, симметрично и рефлексивно, вводится нечеткое отношение квазиэквивалентности Яф с функцией принадлежности
В отличие от отношения безразличия отношение в общем случае нетранзитивно. В противном случае Я« —
Таким образом, рассмотренные отношения предпочтения обладают следующими свойствами нечетких бинарных отношений: — рефлексивны и симметричны;  — нерефлексивно и антисимметрично; во всех случаях, если исходное отношение транзитивно, то тем же свойством обладают и нечеткие отношения и /?>_, а Я /**> ~ всегда транзитивно.
Как и в случае обычных нечетких отношений, важным свойством является свойство связности, которое приводит к тому, что во Множестве О все элементы сравнимы по предпочтительности. В случае нечеткого отношения однозначно можно определить лишь полное отсутствие связности: нечеткое отношение Я не связно тогда и только тогда, когда среди элементов множества О найдутся такие й' и сГ, для которых |и,й д.") — = {(Гу д!) — 0. Поэтому свойство связности нечеткого отношения понимается шире, чем в случае обычного отношения (функция принадлежности которого релейна = {0; 1}), т. е., рассматривают различные степени связности отношения.
Так, для примера 5 отношение предпочтения с функцией принадлежности |х^ является 0,55-связным, т. е. из каждых двух элементов, по крайней мере, один хуже другого со степенью, большей 0,^55.
Особое место в задачах принятия решений с использованием нечетких отношений имеют слабо связные (к = = 0) и сильно связные отношения. Для сильно связного отношения функция принадлежности удовлетворяет условию что эквивалентно утверждению.
Модельные отношения нечетких отношений предпочтения по аналогии с обычными отношениями имеют различные градации, которые можно сопоставить с приведенными в табл. 1. В этом случае обычное отношение несравнимости и неразличимости задается нечетким отношением «сходство безразличия — подобия», а отношение нестрогого предпочтения, моделируемое несвязным квазипорядком, — «предпорядком»; отношения строгого предпочтения — «нестрогим» и «строгим порядком». Дополнительно используют нечеткие отношения «различия» (анти-рефлексивное, транзитивное, симметричное) и «несходства» (анти-рефлексивное, симметричное).
Для того чтобы осуществить однозначный выбор среди множества допустимых альтернатив, выявленные предпочтения ЛПР должны в наибольшей степени соответствовать «идеальной» системе предпочтений. Система предпочтений в таком определении в общем случае должна отвечать следующему набору свойств: транзитивность, асимметричность (или в крайнем случае рефлексивность) и связность. Для обеспечения указанного набора свойств необходимо получить от ЛПР очень «сильную» и объемную информацию как относительно его предпочтений, так и относительно существа рассматриваемой проблемы. При анализе слабо структуризованных проблем на начальных этапах исследования в условиях существенной неопределенности и дефицита времени удовлетворить таким требованиям практически невозможно. Это заставляет последовательно выявлять предпочтения ЛПР по мере уяснения им целей и задач, условий проведения операции и получения промежуточных результатов. Каждый отдельный из применяемых способов выявления предпочтений не обеспечивает требуемого набора свойств и лишь частично вскрывает систему предпочтений и, следовательно, лишь частично снимает неопределенность в выборе. Степень снижения неопределенности зависит от того, какими возможностями обладают те или иные способы выражения предпочтений, т. е. на обеспечение каких именно требований к системе предпочтений они ориентированы в первую очередь. Выбирая тот или иной способ, необходимо руководствоваться, с одной стороны, степенью снижения неопределенности в выборе путем обеспечения конкретного свойства структуры предпочтений, а с другой стороны, — возможностью использовать данный способ на данном шаге принятия решений. Это приводит к противоречию между желанием использовать более простые способы и стремлением максимально вскрыть систему предпочтений ЛПР.
Для решения указанного противоречия рассмотренные способы выражения предпочтения применяют в комплексе, обеспечивая их «вложенность» по последовательному сужению неопределенности в выборе в направлении обеспечения:   
1) транзитивности на классах элементов из предъявленной совокупности (способ сортировки с последующим ранжированием классов);
2) асимметричности или хотя бы рефлексивности внутри класса (попарное сравнение, балльное оценивание) и получения подклассов «не-худших» элементов;
3) связности элементов внутри подклассов (попарное сравнение элементов в долях суммарной или относительной интенсивности, получение коэффициентов важности);
4)            проверки согласованности предпочтений (для устранения противоречивых суждений, возникших при декомпозиции задачи).
Моделируемые отношения в случае 1 представляются квазисерией или строгим порядком (частичным или связным), в случае 2 — частичным квазипорядком или эквивалентностью, в случае 3 — связным квазипорядком, т. е. при выборе конкретного способа выявления предпочтений необходимо ориентироваться на то, какие свойства системы предпочтений будут выявлены (см. табл. 1).
В задачах принятия решений отношения предпочтения задают либо аналитическими выражениями, либо логическими условиями, либо алгоритмам и это и определяет конкретный способ выражения и измерения предпочтений.