Рефлексивное, транзитивное отношение

Эквивалентностью называется симметричное, рефлексивное, транзитивное отношение. Это отношение имеет большое значение при формализации процессов и явлений (рис. 3, а). В математике оно связано с понятием разбиения множеств на классы. Если отношение Я есть эквивалентность на множестве О, то элементы д. и д! относятся к одному классу разбиений тогда и только тогда, когда (^, А') $ Я. И наоборот, если дано разбиение на классы то пара эквивалентна.
Строгим частичным порядком называется антирефлексивное транзитивное отношение.
Квазипорядком называется рефлексивное и транзитивное отношение.
Порядком называется антисимметричное рефлексивное транзитивное отношение.
В примере 3 множество всех значений векторного показателя эффективности У = (У1? У2, У3, У4) разбивается на два класса: класс пригодных значений, для которого Ух< 20 000 р. и У4 < ^ /0 + 12 месяцев (/0 — момент времени анализа альтернатив); класс непригодных значений, для которого не выполняется хотя бы одно из указанных условий.
В этом случае все альтернативы каждого класса эквивалентны, т. е. в первом классе находятся все одинаково пригодные, во втором — все одинаково непригодные. Отношение эквивалентности Я задается указанием общего свойства: «быть пригодным». Использование дополнительной информации о предпочтении, например, не менее предпочтительнее (важнее)  позволяет на выделенном классе пригодных альтернатив построить квазипорядок, который в данном случае оказывается несвязным. Если от ЛПР была бы получена информация типа: № строго предпочтительнее и при этом она касалась бы любой пары альтернатив, то полученное на основе этой информации отношение было бы строгим частичным порядком, который обладает свойством антисимметричности (значения показателей — действительные числа). Для каждого из показателей   отношения эквивалентности и строгого частичного порядка показаны на рис. 3.
Каждое из рассмотренных элементарных суждений (как способ выражения предпочтений) может быть охарактеризовано с помощью свойств бинарных отношений.
Попарное сравнение в общем случае обладает только свойством рефлексивности. Поскольку сравнение элементов проводится только в парах без учета остальных элементов, свойство транзитивности выявленного отношения предпочтения, как правило, отсутствует, а так как допускается указывать на несравнимость элементов, то отсутствует и свойство связности. Например, при попарном сравнении ЛПР может указать, что увеличение покупательной способности \Р1 предпочтительнее снижения себестоимости 1Г2, а снижение себестоимости предпочтительнее снижения затрат №3 (при попарном сравнении последних). Из этого еще нельзя заключить, что №| предпочтительнее №3, так как при их попарном сравнении ЛПР может даже указать, что снижение затрат предпочтительнее повышения покупательной способности. Такой случай называется не транзитивностью в суждениях ЛПР. Это обстоятельство является одним из главных недостатков одного из самых простых способов выражения элементарных суждений.
Сортировка может задавать либо отношение эквивалентности, либо толерантности (рефлексивное, симметричное отношение) на предъявленном ЛПР множестве элементов. Так как среди предъявленных элементов ЛПР может уверенно отнести к тому или иному классу лишь элементы, субъективно «сильно» различающиеся между собой, а среди оставшихся есть «похожие», то транзитивность на границах между классами может нарушиться. В результате этого отношение становится только рефлексивным и симметричным, что является определенным недостатком сортировки. Такое отношение называется толерантностью.
Ранжирование задает отношение квазипорядка. Если ранжирование строгое, то выявленное отношение является строгим частичным порядком.