Классические методы условной и безусловной оптимизации
Классические методы условной и безусловной оптимизации основаны на отыскании стационарных точек целевой функции. В общем случае классический подход заключается в замене задачи на экстремум задачей поиска решений системы трансцендентных уравнений вида.
Система (12.15) есть необходимое условие существования экстремума функции ф (X) в задаче безусловной оптимизации, система (12.16) — условие Лагранжа для задач с ограничениями-равенствами, а системы (12.17) и (12.18) получены из необходимого условия Куна — Таккера для задач с ограничениями-неравенствами и смешанного типа соответственно.
Рассмотрим в качестве примера задачу принятия решения, связанную с выбором конструктивных параметров кузова вагонетки для перевозки сыпучего груза.
Пример 1. Необходимо спроектировать кузов вагонетки для перевозки и механизированной разгрузки сыпучего груза. При этом желательно обеспечить наибольшую вместимость кузова при заданных ограничениях на длину кузова (определяемую особенностями его эксплуатации) и его массу. В качестве конструктивных параметров, подлежащих определению, выберем длину кузова хх и радиус боковой стенки хъ, т. е. стратегия и характеризуется вектором X = (хх, х2)т Предполагается, что мощность двигателя, развивающего крутящий момент Мв, достаточна для любых значений х2. Обозначим через /1э 12 — минимальную и максимальную длину кузова, определяемую конструктивными особенностями шасси вагонетки, а через Р0 — максимально допустимую массу без груза. Толщину стального листа для изготовления кузова и удельную плотность стального листа обозначим через 4 и р соответственно.
Преобразуем задачу проектирования в задачу оптимизации. Максимумы функций V = -у Х{Х% И Ф (X) = Х достигаются в одной и той же точке X* = (я*, х%), принадлежащей области ограничений. Содержательный анализ системы (12.19), (12.20) показывает, что максимум объема при фиксированных параметрах р, й, 1г, /2, Р0, задающих множество Ар, достигается при максимальной собственной массе Р = = Р0 кузова. Объем V есть монотонно возрастающая функция переменных Ху, х2, что позволяет первое неравенство системы (12.20) представить как равенство. Тогда задача оптимизации будет выглядеть следующим образом:
X: шах [ф (X) = х]
при ограничениях:
Эта задача имеет следующий, набор характерных признаков: Ст — М — У — Н — Нл. Этот набор признаков (см. рис. 1) определяет две группы методов решения задачи — классические методы многомерной оптимизации и методы нелинейного программирования. Поскольку задача достаточно проста (нет ни одного трансцендентного уравнения), решим ее классическим методом. Формально решение можно получить, составив и разрешив систему (12.18). Однако есть более простой путь: отыскать решение задачи