Функция эффективности
Рассмотренные способы выражения предпочтений ЛПР предполагают предъявление ему некоторого ограниченного контрольного множества элементов из И с целью прямого их оценивания по предпочтительности. Из этого следует, что выявленное отношение предпочтения Я (четкое или нечеткое) относится только к предъявленным элементам. Если нужно установить предпочтения ЛПР на других элементах, входящих во множество О, то необходимо сформировать новое контрольное предъявление и вновь провести оценивание предпочтений. Такая процедура должна повторяться до полного исчерпания множества О, что практически невозможно по двум причинам. Во-первых, множество Р может иметь мощность континуума, а во-вторых, даже если множество Б конечно, ЛПР не всегда может длительно консультироваться с исследователем.
Использование выборочного метода и выполнение ряда предпосылок позволяют преодолеть указанные трудности. Отношение ЛПР, выявленное по результатам контрольного предъявления множества элементов, аппроксимируют некоторой числовой функцией, которая каждому элементу й ^ О ставит в соответствие действительное число, величина которого согласуется с представлением ЛПР о степени предпочтительности данного элемента (по достижении цели операции, условиям ее проведения, затратам и
т. п., характеристикам каждого элемента й ^ О). Такую функцию называют функцией эффективности1 С помощью этой функции уже без непосредственного привлечения ЛПР может решаться задача выбора.
В качестве функции эффективности можно рассматривать любое соответствие (функцию, функционал, оператор), для которого выполняется соотношение: где Я — отношение нестрогого предпочтения на О (четкое или нечеткое); Уе (<1) — значение функции эффективности.
Если в (11.1) неравенство строгое, то й' >- (Г (или А,Я>-Ап), если неравенство выполняется как равенство. Более предпочтительному элементу в этом случае приписывается большее значение функции эффективности.
Численное представление функции эффективности, как следует из (11.1), возможно в том случае, если отношение: а) Я — связно; б) Я — транзитивно: в) Я — асимметрично и при этом г) предпочтении на множестве Б не изменяются скачком.
Требование а указывает на обязательную сравнимость любых двух элементов. Предпочтения ЛПР должны быть согласованы (непротиворечивы), что означает транзитивность отношения. Улучшение отдельных характеристик элемента должно приводить к различию в оценке его предпочтительности. Выполнение этого условия должно приводить к асимметрии отношения Я и монотонности функции эффективности. Таким образом, из третьего требования вытекает, что для любого.
Часто эту функцию называют функцией ценности или функцией полезности. Эти названия укоренились с тех пор, когда ошибочно считали, что каждому элементу из предъявленной совокупности присуща некоторая объективная полезность (ценность), которую и отражают субъективные предпочтения ЛПР. Авторы считают термин «функция эффективности» более соответствующим смыслу задач принятия решений на основе анализа результатов оценивания эффективности операции элемента достаточно малое изменение одной из его характеристик в смысле улучшения может быть компенсировано определенным изменением другой характеристики, что приводит к эквивалентности исходного и полученного таким образом нового элемента. Условие ~ требует наличия именно такого свойства у отношения Я-
Построение функции эффективности представляет самостоятельную задачу. Не всегда эта задача имеет решение. Тогда применяют другие эвристические методы, позволяющие осуществить выбор.
Так как значения функции эффективности соответствуют более предпочтительным элементам, то задачу выбора наилучшего элемента й* $ Р (или получения множества Р* таких элементов) можно рассматривать как обычную задачу оптимизации:
В качестве характеристик исходов О (т. е. Р = О) используются частные показатели эффективности, надежности, качества, которые должны иметь ясный физический смысл. Именно это требование позволяет ЛПР уяснить задачу выбора и упорядочить исходы по предпочтительности. Однако для агрегированной характеристики исхода — функции эффективности это требование не обязательно, что существенно упрощает решение задачи.
Если решением задачи (11.3) является множество наилучших элементов Р*, то для того чтобы провести окончательный выбор, необходимо привлечь дополнительную информацию от ЛПР, расширяющую исходное отношение предпочтения Я- В качестве такой информации выступают сведения о характеристиках исхода операции, которые по какой-либо причине не были учтены при начальной постановке задачи. В конечном итоге вложенность отношений, а следовательно, и вложенность множеств приводят к тому, что на шаге множество оказывается достаточно узким и это позволяет осуществить однозначный выбор.