Эффективные стратегии
Пусть известно, что предпочтения ЛПР на множестве векторных оценок X изменяются плавно и для любой произвольной точки х б X можно так
изменить ее компоненты, что исходная и новая точки будут одинаковы по предпочтительности для достижения цели операции. Для двумерного случая (рис. 4) это допущение означает, что в X имеется некоторое подмножество точек, эквивалентных по предпочтительности и всем им можно поставить в соответствие некоторую определенную степень (меру) эффективности. Если эту степень измерять с помощью функции эффективности \Уе (X), то в рассматриваемом двумерном пространстве X можно изобразить линии одинаковой предпочтительности — кривые равноценности МРе (X) — сопз1. Если х — у, то они расположены на одной кривой равноценности \7е (х) = = а, а если точка г >- х, то она расположена на кривой равноценности ХРе (г) — Ь > а. Кривые равноценности полностью моделируют предпочтения ЛПР во множестве X. Выше было сделано допущение, что большие значения частных показателей эффективности (компонент оценок х) предпочтительнее меньших. Даже в этом случае может оказаться, что для числа частных показателей т ^ 3 направления предпочтения по одним показателям изменяются в зависимости от того, какие значения принимают другие.
Пример 1. При управлении деятельностью предприятия ЛПР руководствуется тремя показателями: — процент выполнения плана; — время, оставшееся до конца планового периода; и^3 — дополнительные затраты, связанные с обеспечением выполнения плана. Если процент выполнения плана высок и имеется большой резерв времени до отчетного периода, то стимулировать деятельность предприятия нет необходимости, т. е. ЛПР будет предпочитать большие значения Н73 меньшим. Если выполнение плана под угрозой (недопустимо низкие значения ЦТ* и Ц72), то ЛПР скорее всего предпочтет уменьшение значений ИР3 (увеличение дополнительных затрат), а не срыв плана. Таким образом, направление предпочтения по показателю №3 зависит от того, какие значения принимают показатели ^ и Г2.
Показатель №*, для которого направление предпочтения зависит от того, какие значения принимают другие показатели, называется зависимым по предпочтению от остальных. Если направления предпочтения по каждому частному показателю Щ не изменяются от того, какие значения принимают другие показатели, то такие показатели называются взаимонезависимыми по предпочтению. Случаи такого рода весьма часто имеют место в практике. Обозначим через й часть общей информации о задаче, относящуюся к предпочтениям ЛПР. На ранних этапах принятия решения информация % ^ О С 0 о взаимно-независимости частных компонент векторного показателя позволяет значительно сузить исходное множество стратегий 0, не вскрывая полностью систему предпочтений ЛПР. Решающее правило в этом случае строится на основе аксиомы В. Парето [52].
Аксиома Парето. Если в задаче принятия решения частные показатели независимы по предпочтению и значение каждого из них желательно увеличивать, то из двух векторных оценок х, у € X, для которых выполняются неравенства, выделено жирной линией; оно может быть как разрывным (рис. 5, г), так и неразрывным (рис. 5, а—в), содержать все точки границы Ха, лежащие в направлениях «север—восток» относительно начала координат (рис. 5, а и б), или только часть из них (рис. 5, в и г).
Стратегии, векторные оценки которых принадлежат ядру отношения, называются эффективными или недоминируемыми по Парето. Все остальные стратегии называются доминируемыми. Если некоторая стратегия доминируема, то ее нецелесообразно рассматривать в качестве возможного решения, так как существует (хотя бы одна) эффективная стратегия и € С/а>0> которая дает большее значение хотя бы по одному из частных показателей I = 1, т по сравнению со стратегией V [выполняется соотношение (12.30)]. Следовательно, решение следует искать лишь на множестве эффективных стратегий.
Эффективные стратегии не сравнимы между собой по информации а>0. Поэтому однозначный выбор по информации ю0 можно осуществить лишь в крайне редком случае (множество состоит из одного элемента).
Для задачи принятия решения по двум, в редких случаях трем, частным показателям эффективности множество эффективных стратегий может быть найдено, исходя из определения (12.33). Для этого в пространстве X строится множество достижимых векторных оценок а затем выделяется та его «северо-восточная» часть, которая заключена между линиями. Это можно сделать если область Ха строго выпукла или строго вогнута. В противном случае (за исключением линейных границ) «северо-восточная» граница области разбивается на строго выпуклые и строго вогнутые участки линиями, проходящими параллельно осям координат через точки перегиба или излома границы. В общем случае множество можно выделить с помощью приема, показанного на рис. 6, б. Для этого необходимо прямоугольный треугольник расположить так, чтобы-его катеты были параллельны осям координат, и перемещать его в области Ха по направлениям «север—восток» до тех пор, пока вершина прямого угла не коснется границы области Ха- Точка касания включается в множество, если в створ прямого угла 1 не попадает ни одна из точек х € Ха-
Если множество Ха дискретно, то эффективные стратегии отыскиваются на основе определения (12.33) путем попарного сравнения векторных оценок.
Если число компонент векторного показателя эффективности больше трех, то ^отыскать эффективные стратегии по определению (12.33) трудно. В этом случае эффективные стратегии выделяют с помощью специальных методов, в основе которых лежат теоремы о свойствах эффективных стратегий.
Теорема 1. Стратегия и является эффективной тогда и только тогда, когда для любого 1= 1, т она удовлетворяет условию.
Смысл теорем 1—3 для двумерного случая иллюстрируется на рис. 7, а—г. На всех рисунках показана достижимая область Ха и выделено ядро отношения На рис. 7, а эффективная стратегия и* соответствует точке X (и*), полученной в результате максимизации первой компоненты векторного показателя при условии, что множество значений второй компоненты принадлежит заштрихованной области. Линии уровня функции Г (V, х) на рис. 7, б образуют прямой угол с осями координат. Для произвольной стратегии векторная оценка которой соответствует точке, принимает значение, равное 1. Для всех стратегий и, векторные оценки которых расположены в заштрихованной области, значения функции Г (у, и) > 1. Эффективной стратегии и* соответствует максимум функции Г (у, и).
Если условия теоремы 3 выполнены (множество Ха выпукло), то эффективной стратегии и* будет соответствовать точка касания линии уровня функции Р (у, и) границы области Ха (рис. 7, в). Требование выпуклости Ха (вогнутости всех Щ) существенно, что иллюстрирует рис. 7, г, т. е. эффективные стратегии и*, векторные оценки которых принадлежат подчеркнутой штриховой линии части ядра, не могут быть выделены ни при каких коэффициентах у1, /=1/2.
С помощью (12.34)—(12.36), теорем 1—3 выделение эффективных стратегий из множества допустимых может быть формально осуществлено решением задач математического программирования. Такая процедура выделения эффективного множества может быть полностью осуществлена лишь для дискретного множества стратегий. Для непрерывного множества стратегий V его эффективное подмножество аппроксимируется по отдельным точкам и при необходимости уточняется.
Если задачи математического программирования,. соответствующие (12.34)—(12.36), требуют больших затрат времени и ресурсов, то эффективные стратегии выделяют следующим образом. Случайным образом генерируют стратегию и € V* для нее вычисляют оценку X (и) в соответствии с моделью Т. Генерируют следующую стратегию V, которую сравнивают со стратегией и по правилу (12.32). Доминируемую стратегию отбрасывают. Процедуру ^повторяют необходимое число раз; при этом каждую вновь сгенерированную стратегию сравнивают со всеми недоминируемыми на предыдущих шагах. Генерация стратегий должна осуществляться таким образом, чтобы обеспечить равномерность выборки на множестве V. Иногда используют специальные последовательности равномерно распределенных точек — ЛПг-последовательности.