Отношения предпочтения и их свойства

Бинарные отношения, являясь универсальным способом описания связей между элементами произвольной природы, широко используются в практике принятия решений. С их помощью формально задаются и описываются
свойства всех отношений предпочтения. Основными отношениями предпочтения являются следующие: отношение строгого предпочтения; отношение безразличия.
В этом случае запись означает, что элемент строго предпочтительнее элемента сГ, т. е. при предъявлении ЛПР только двух указанных элементов оно всегда будет явно предпочитать элемент й'. Запись означает, что элементы одинаковы по предпочтительности и если предъявление ограничить только этими двумя элементами, то ЛПР всегда безразлично, какой из них выбрать.
На основе отношений строгого предпочтения и безразличия вводят дополнительно: отношения нестрого предпочтения несравнимости ^ неразличимости #, а также различ-ые градации указанных отношений. Отношение нестрогого предпочтения й' ^ й" означает, что элемент по мнению ЛПР, не менее предпочтителен, чем (Г, т. е. при их предъявлении ЛПР указывает либо, что й’ у~ >- д.", либо, что А' ~ (Iя. Формально отношение ^ есть объединение >~и~.
Отношение несравнимости й' ^ й" означает, что ЛПР не понятно, как выразить отношения между элементами                й", т. е. оно не может однозначно утверждать, что д! У- й" или <Г >- й', или й' ~ (Г.
Отношение неразличимости й' # &" означает, что либо ЛПР не может сравнить элементы А" (д! ^ сГ), либо считает их эквивалентными (А1 ~ (Г).
Формально отношения несравнимости и неразличимости можно представить так:
По смыслу введенные отношения предпочтения обладают следующими свойствами бинарных отношений:
анти-рефлексивно и асимметрично;
— рефлексивно и симметрично; ^— рефлексивно.
В зависимости от наличия дополнительных свойств у указанных отношений вводятся различные их градации, представленные в табл. 1. Отношения 2—8 в табл. 1 охарактеризованы как транзитивные, в общем случае они таковыми могут и не быть (например, если эти отношения выявлены в результате попарного сравнения). Транзитивность теряется в том случае, если ЛПР в процессе контрольных предъявлений оценивает объекты по разным целевым признакам. Отношение нестрогого предпочтения ^ является следствием нестрогого ранжирования элементов. В результате этого все множество предъявления элементов разбивается на различающиеся по предпочтительности классы, внутри которых элементы одинаковы по предпочтительности. Если каждый класс содержит только один элемент и проведено нестрогое ранжирование, то такое отношение есть связный нестрогий порядок. Если при этом ранжирование строгое — связный строгий порядок (серия). Если в каждом классе более одного элемента, проведено строгое ранжирование между классами, но внутри класса элементы неразличимы (либо несравнимы, либо эквивалентны), то полученное отношение есть квазисерия. Любое частичное отношение отличается от связного тем, что классы элементов из множества предъявления нельзя полностью упорядочить по предпочтительности (это можно сделать лишь частично).
В практике выявления и оценивания предпочтений обычно стремятся добиться непротиворечивости суждений ЛПР, поэтому везде в дальнейшем всегда будем считать, что отношения строгого предпочтения >-, безразличия и нестрогого предпочтения тран-зитивны, так что >- — строгий частичный порядок, — эквивалентность,  — квазипорядок.