Математические модели технических систем

Реальная система состоит из элементов, которые под воздействием входных сигналов и в зависимости от своего состояния могут переходить в новое состояние и формировать выходной сигнал.
Этот выходной сигнал может быть воспринят другим элементом системы как входной, а в качестве реакции на него элемент перейдет в новое состояние и сформирует выходной сигнал. Образуется система связи элементов между собой, а также с внешней средой.
Процесс функционирования одного элемента сложной системы математически можно описать как общую динамическую систему (ОДС) [9]- Термин «общая» означает, что в рамках ОДС может учитываться не только причинный, но и стохастический характер движения системы (под движением ТС в широком смысле понимают процесс смены ее состояния).
Пусть — вектор, характеризующий состояние ОДС в момент времени, компоненты вектора г*; 2 — множество различных возможных состояний системы,— входной сигнал в момент времени /, представляющий собой вектор с координатами — вектор выходных сигналов в момент.
Общей динамической системой (ОДС) называют систему, / находящуюся в каждый момент времени ^ ^ Т п одном из возможных! состояний 2* € 2 и способную переходить во времени из одного состояния в другое случайным образом или (и) под действием внутренних и внешних причин, совершая при этом движение г(1).
Пусть 2. — замкнутая ограниченная область в л-мерном пространстве. Из начального состояния в котором система находится в начальный момент времени /0 € Т, начинается движение 2 (/) под действием внутренних причин. Это движение может задаваться любым аналитическим или алгоритмическим оператором. Движение продолжается либо до поступления в систему входного сигнала х, либо до выхода точки 2 на границу области 2.
В обоих этих случаях система скачком переходит в новое состояние. Величина и направление скачка в пространстве состояний могут быть случайными. Точка, отображающая состояние системы после скачка, находится в области 2.
Пусть в момент, когда система находилась в состоянии, поступил входной сигнал. Под его воздействием система совершит скачок, который определяется случайным вектором: где г" — вектор состояния системы' после скачка, г* € Распределение случайного вектора Н' зависит от г' и V. Из новой точки г* (состояние системы после скачка) система движется под действием внутренних причин. Если в момент времени I" > V поступит входной сигнал х", то система совершит скачок Н" в новое состояние, из которого продолжит движение под воздействием внутренних причин. При этом распределение вектора К" будет зависеть в общем случае от состояния системы перед приходом сигнала х? и от времени I".
Пусть в момент времени система под действием внутренних причин приходит в точку г* на границе области '2. Из точки 2* система совершает скачок внутрь области 2, определяемый случайным вектором Н* = г — г*, где г — состояние после скачка.
Каждый раз, когда система совершает скачок под воздействием входного сигнала или при выходе на границу области г, на ее выходе появляется сигнал, где Г — момент скачка; г — состояние, из которого совершается скачок; х — входной сигнал, под действием которого происходит скачок (при выходе на границу области 2 сигнал х в (7.24) отсутствует).
Таким образом, ОДС задается следующими группами соотношений: уравнениями границы области возможных состояний 2; уравнениями движения точки г (0 внутри области 2\ соотношениями для формирования распределения вероятностей скачков состояний при выходе на границу области 2\ соотношениями для формирования распределения вероятностей скачков состояний при поступлении входных сигналов; соотношениями для расчета выходных сигналов.