Числовая система

Числовая система называется полной, если есть множество всех действительных чисел. Отношениям строгого и нестрогого порядка между объектами соответствуют отношения строгого и нестрогого неравенства между числами, а отношению эквивалентности между объектами — отношение равенства между числами.
Числовая система используется для унификации измерений. Измерение заключается в отображении объектов эмпирической системы (причем объекты, показатели сравнения и виды отношений могут быть самыми разнообразными) на множество чисел таким образом, чтобы отношения между числами, отображающими объекты, сохраняли отношения между объектами.
Числовая система сохраняет свойства и отношения объектов, если она изоморфна или по крайней мере эмпирической системе. Числовая система изоморфна эмпирической системе, если они подобны и между ними существует взаимно-однозначное отображение (функция) объектов на множество чисел, такое, что отношение между объектами имеет место тогда и только тогда, когда имеет место отношение между числами, отображающими объекты на числовой оси. Подобие двух систем с отношениями означает, что количество отношений и их местность в обеих системах одинаковы.
В некоторых случаях условие взаимной однозначности отображения / является слишком жестким и не всегда необходимым. Заменив это условие в данном выше определении изоморфизма на условие однозначного соответствия, придем к понятию гомоморфизма.
Таким образом, измерение представляет собой отображение объектов эмпирической системы на множество чисел в числовой системе; При этом каждому объекту эмпирической системы с помощью отображения (функции) приписывается число.
Отношения между числами при таком отображении должны сохранять отношения между объектами. Например, если объект предпочитается или равноценен объекту.
Основными проблемами теории измерений являются проблемы представления и единственности. Первая из этих проблем состоит в доказательстве возможности представления эмпирической системы с помощью числовой системы, сохраняющей отношения между объектами, т. е. изоморфной или гомоморфной. В теории измерений доказано существование числовых систем для описания множества объектов, связанных отношениями эквивалентности, строгого и нестрогого порядка.
Проблема единственности состоит в определении всех возможных способов представления данной эмпирической системы различными числовыми системами и установления связи между ними. Эту проблему можно сформулировать как проблему определения типа шкалы.
Шкалой называется совокупность эмпирической системы 5е, числовой системы 5Л и отображения, т. е. шкала задается тройкой.
Пусть ИГ — некоторый показатель для выражения отношения между объектами О (например, № — показатель эффективности технической системы; О — некоторое множество технических систем); (5е, 8Н) и (5е, 8Н, /а) — две шкалы, различающиеся отображениями и /2. Тогда = = /ъ (<**) и ^2 = /г №) — числовые значения показателя полученные для объекта 4* эмпирической системы соответственно с помощью отображений !г и /2-
Возникает вопрос о взаимосвязи числовых значений и НР2, полученных при отображении одного и того же объекта, но в разных шкалах. Обозначим через <р (№) функцию, устанавливающую связь между значениями и показателя НР. Функцию <р (И?) называют допустимым преобразованием шкалы показателя ХР, если эта функция служит для выражения того же отношения между объектами, что н показатель.