Нечеткие отношения

Переход от обычного (четкого) отношения к нечеткому в принципе тот же, что и переход от обычного множества к нечеткому. В практике чаще используют задание нечетких отношений на обычных множествах.
В этом  случае нечетким отношением К на обычном мноокестве О называется [32, 50] нечеткое подмножество прямого декартова произведения ОХИ, характеризующееся функцией принадлежности. Значение этой функции принимается как субъективная мера отношения. Обычное отношение есть частный случай нечеткого отношения с релейной функцией принадлежности:
Пример 5. Отношение Я для случая, изображенного на рис. 1, а, полученное в результате опроса экспертов, представляется в виде функции принадлежности:
Если ЛПР считает, что факт превосходства в важности имеет место при значениях функции принадлежности [Ад ^ 0,5, то модель предпочтения можно представить «четкой» аппроксимацией, изображенной на рис. 1,6.
Приведенная матрица соответствует случаю, когда при попарном сравнении элементов накладывается дополнительное условие нормировки, из которого следует, что общем случае элементы матрицы смежности могут быть свободны от этого ограничения.
По аналогии с обычным отношением нечеткое отношение можно представить ориентированным графом, каждой дуге которого приписано число или же поверхностью в декартовой системе координат.
При работе с нечеткими отношениями, построенными на обычном множестве О, используют следующие основные операции.
Объединение нечетких отношений.
Заданы отношения Яа и Яв на множестве И. Их объединением называется отношение Яс = Я а Ы имеющее функцию принадлежности:
Однако в практике принятия решений чаще используется максимальное определение композиции.
Нечеткие отношения могут обладать следующими свойствами.
Рефлексивность. Нечеткое отношение Я, заданное на множестве 1>, обладает свойством рефлексивности, если для любого (I ^ I) выполняется условие
Например, отношение «примерно одинаковы по предпочтительности» рефлексивно.
Симметричность. Нечеткое бинарное отношение Я, заданное на множестве й, называется симметричным, если для любых элементов й, д! € Л выполняется условие
Например, нечеткое отношение «показатели близки по предпочтительности» симметрично.