Получение информации о функции отклика

Общая задача эксперимента с моделью системы — получение информации о функции отклика. Наиболее важными являются экспериментальные исследования с помощью моделей, направленные на отыскание некоторых значений управляемых факторов, для которых основной выходной параметр достигает своего экстремального значения (экстремальный эксперимент).
В процессе экстремального эксперимента при фиксированных значениях управляемых факторов наблюдают значение переменной у. По значению (или по нескольким значениям) этой переменной, полученному из опыта, можно лишь приближенно оценить функцию отклика. Значение этой функции в фиксированной точке факторного пространства равно условному математическому ожиданию наблюдаемой переменной у в этой точке, т. е.
В статистике функция, связывающая условное математическое ожидание случайной переменной с контролируемыми переменными, называется регрессией (см. т. 2).
Если вид функции отклика *) (х) неизвестен, то полезным оказывается ее представление в виде полинома'. В этом случае функция отклика записывается в виде, где Ро, р;, Р;ь — неизвестные теоретические коэффициенты регрессии.
Функция отклика считается полностью известной, если определены все коэффициенты Р, входящие в формулу (9.30).
Вследствие влияния на результаты эксперимента случайных факторов,  истинные значения коэффициентов могут быть оценены лишь приблизительно, т. е. может быть построена лишь функция, где д — оценка значения функции отклика, предсказанная по уравнению регрессии, — статистические оценки коэффициентов Р, которые получают с помощью метода наименьших квадратов.
Этот метод дает эффективные оценки коэффициентов регрессии в случае, если ошибка опыта е (х), а следовательно, и сама переменная у имеют нормальное распределение. Дисперсия наблюдаемой переменной очевидно, равна дисперсии ошибки опыта, т. е. называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризует качество эксперимента (эксперимент называют идеальным при
Точность оценки математического ожидания выходного параметра повышается с увеличением числа опытов, по которым оцениваются коэффициенты регрессии. Разность между числом опытов, по которым оценивают коэффициенты регрессии; и числом оцениваемых коэффициентов т называют числом степеней свободы Н, т. Эксперимент называют ненасыщенным при Л > 0, насыщенным при Л = 0 и сверхнасыщенным при Н < 0. Метод наименьших квадратов в регрессионном анализе используют при Л 0. Большое влияние на точность оценки коэффициентов оказывает расположение точек, в которых проводятся опыты, в факторном пространстве.
Пусть для оценки функции отклика предполагается провести я измерений выходного параметра у. В этом случае набор п координат точек в факторном пространстве
в которых будут проведены измерения (опыты) на множестве допустимых значений С, называется планом эксперимента. В общем случае координаты некоторых точек могут совпадать, т. е. в одной и той же точке может быть поставлено несколько опытов.
Основная задача планирования экстремального эксперимента — из всея допустимых выбрать такой план, который позволил бы оценивать функцию отклика с наибольшей точностью при фиксированном числе опытов п или, наоборот, выбрать такой допустимый план, при котором для оценки функции отклика с заданной точностью требуется минимальное число опытов.