Критерий устойчивости Рауса—Гурвица является алгебраическим критерием, который позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам ее характеристического уравнения. Необходимым и достаточным условием устойчивости автоматических систем регулирования является положительность всех коэфициентов характеристических уравнений этих систем. Иными словами, АСР устойчива, если все определители составленные из коэффициентов уравнения положительны.
Определители составляются следующим образом. Для старшего Дп выписываются по диагонали все коэффициенты от щ до яп в порядке возрастания индексов. Затем столбцы определителя вниз от главной диагонали дополняются коэффициентами с последовательно уменьшающимися индексами, а вверх с возрастающими индексами. На место коэффициентов, индексы которых больше п и меньше нуля, ставятся нули. Меньшие определители получаются путем зачеркивания в определителе строк и столбцов:
Достоинством критерия устойчивости Рауса—Гурвица является его сравнительная простота и небольшой объем вычислений при невысоком порядке дифференциального уравнения системы. Для систем высокого порядка (п>4) использование этого критерия затруднительно ввиду значительного объема вычислений.
Для анализа уравнений третьего порядка используется диаграмма Вышнеградского. Характеристическое уравнение третьего порядка легко преобразуется в уравнение в форме Вышнеградского:
Затем на плоскости двух параметров А и В в области устойчивости строятся различные кривые, соответствующие тем или иным показателям расположения корней характеристического уравнения. По критерию Гурвица, условиями устойчивости являются неравенства. Граница области устойчивости определяется уравнением АВ= 1. Эти кривые на графике, называемом диаграммой Вышнеградского, определяют границы устойчивости. Если заданы коэффициенты характеристического уравнения А и В, то по диаграмме Вышнеградского можно установить, в какой из трех областей находятся корни характеристического уравнения, и тем самым определить характер протекания процесса регулирования.
Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Михайлова — это частотный критерий, основанный на построении по характеристическому уравнению системы так называемой характеристической кривой, или годографа, по виду которого судят об устойчивости АСР.
Характеристическое уравнение замкнутой системы регулирования имеет вид (7.4). Заметив в этом уравнении переменную величиной /со, получим: это уравнение при изменении частоты со от 0 до + оо позволяет построить на комплексной плоскости годограф, по виду которого можно судить об устойчивости системы.
Критерий Михайлова формируется следующим образом: система устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты со от 0 до 1, начинаясь на положительной части вещественной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, нигде не обращаясь в нуль, проходя последовательно такое количество квадрантов комплексной плоскости, какова степень характеристического уравнения.
На рис. 7.2 годограф 1, 2, 3 характеризует устойчивую, а годограф 5 — неустойчивую, 4 — «граничную» системы. Анализ устойчивости проводится следующим образом:
1) в характеристическом уравнении замкнутой системы заменяют Р на /со;
2) члены /со возводят в соответствующие степени, после чего группируют вещественную Q(со) и мнимую /С/(со) части многочлена, которые выписывают отдельно друг от друга;
3) задаваясь отдельными значениями со от 0 до + 1, определяют величины и строят кривую по точкам, полученным при определенных значениях со, соответствующих точкам пересечения годографа с осями координат. Чтобы найти точки пересечения годографа с осью вещественных значений, нужно приравнять нулю мнимую часть годографа и из полученного уравнения найти значения частот со, которые затем подставить в выражение вещественной части годографа. Полученные значения являются абсциссами точек пересечения годографа с осью вещественных значений. Аналогично, приравнивая нулю вещественную часть годографа, определяют ординаты точек, в которых годограф пересекает мнимую ось. По найденным точкам строится годограф системы и производится оценка ее на устойчивость.
Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Критерий Найквиста—Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы регулирования по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы, что дает возможность использовать для оценки устойчивости результаты экспериментальных исследований.
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы находится из ее передаточной функции путем замены оператора Р на /со. \ На комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы путем изменения частоты со от 0 до 1. По виду этой характеристики судят об устойчивости системы в замкнутом состоянии.
Критерий устойчивости Найквиста—Михайлова формулируется
следующим образом: замкнутая система устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами.
На рис. 7.3 изображены амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых систем, которые в замкнутом состоянии устойчивы (/), неустойчивы (3) или находятся на границе устойчивости (2). На устойчивость объекта значительное влияние оказывает запаздывание.
Запаздывание, имеющее место в реальных объектах, затрудняет работу автоматических систем регулирования, ухудшает качество процесса. Объясняется это тем, что воздействие регулятора на вход объекта зависит от значения регулируемой величины на выходе объекта в данный момент. Однако за время, обусловленное запаздыванием, состояние объекта может измениться, и воздействие регулятора, не воспринявшего еще это изменение, может быть направлено в сторону усиления возмущений на входе объекта, а не в сторону их устранения. Наличие запаздывания в объекте увеличивает отклонение регулируемой величины от заданного значения, удлиняет переходный процесс и может привести к неустойчивому состоянию.
Ослабление вредного влияния запаздывания достигается использованием в схемах промежуточных параметров регулирования, а также применением регуляторов с предварением и схем связанного регулирования.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100