При достаточно большом числе достоверных наблюдений изменение изучаемого показателя можно представить графически, т. е. в виде кривой распределения. Рассмотрим способ построения такой кривой. Полученные экспериментальные данные (поведение какого-либо из изучаемых параметров за определенный промежуток времени) разбивают на классы по всему диапазону полученных величин. Обычно число классов составляет восемь-десять.
Затем по полученным результатам строят экспериментальные зависимости, откладывая по оси абсцисс средние значения классов, а по оси ординат — количество точек в классе. Получают линии, называемые кривыми распределения, так как они показывают распределение величин по отдельным классам.
При увеличении числа наблюдений и уменьшении промежутка между классами кривая распределения превращается в плавную кривую.
Кривые распределения могут иметь чрезвычайно разнообразную форму. Из них на рис. 5.4 приведены лишь наиболее характерные. Кривые с вершинами, сдвинутыми вправо или влево (рис. 5.4,а и б), называются кривыми с отрицательной или положительной асимметрией. Кривые с приподнятой вершиной (рис. 5.4, в) называются кривыми с положительным экс-цессом, что свидетельствует о скоплении большинства значений в центре ряда. Равномерное распределение придает кривой плосковершинную или многовершинную форму; такие кривые (рис. 5.4,г и д) называются кривыми с отрицательным эксцессом.
Симметричные кривые (рис. 5.4, е), не имеющие ни положительного, ни отрицательного эксцесса, называются кривыми нормального распределения. Такие кривые получаются а) в том случае, когда все причины, вызывающие отклонения данного свойства от среднего значения в ту или иную сторону, действуют в одинаковой мере. Практически можно считать, что всякая непрерывная случайная величина, представляющая собой результат действия достаточно большого числа независимых случайных причин, имеет нормальное распределение, или распределение Гаусса. Нормальное распределение получило основное распространение в АСР.
Математическое ожидание. Среднее значение случайной величины у, определенное по множеству ее возможных значений, называется математическим ожиданием величины у.
Математическое ожидание представляет собой некоторую случайную функцию, относительно которой колеблются реализации случайного процесса (рис. 5.5):
Среднее по множеству обозначается также в виде у. Для случайного процесса y(t) среднее значение является функцией времени (рис. 5.5,6). Однако, если случайный процесс стационарный, то у него постоянно во времени (рис. 5.5,а).
Для времени U среднее арифметическое значение случайной величины, полученное по результатам п наблюдений, где 2i/i—сумма всех значений случайной величины.
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Математическое ожидание дает представление лишь о средней величине изучаемого свойства объекта. Среднее значение квадрата отклонения случайной величины у от среднего значения называется дисперсией.
Дисперсия характеризует рассеяние случайной величины относительно ее математического ожидания. Иными словами, дисперсия является мерой отклонения случайной величины у от ее среднего значения. Чем больше колебания случайной величины относительно среднего значения, тем больше дисперсия.
Величина, характеризующая среднюю изменчивость изучаемого свойства объекта, называется среднеквадратичным отклонением эта величина часто используется в качестве меры отклонения случайной величины.
Среднеквадратичное отклонение удобно тем, что выражается в тех же единицах, что и среднее арифметическое, т. е. в единицах анализируемой случайной величины. Величина среднеквадратичного отклонения может также вычисляться по формуле где —сумма квадратов отклонений всех значений пара-1
метра от среднего арифметического; п — число наблюдений. Знаки «плюс» и «минус» показывают, что отклонения могут быть и в ту, и в другую сторону от среднего значения. Среднеквадратичное отклонение является одной из наиболее важных статистических величин.
Теория вероятностей доказывает, что при нормальном распределении в пределах ту±а будет находиться 68,3 % всех значений параметра, в пределах ту±2а—95,4 %, в пределах 99,7 %, или 997 случаев из тысячи, т. е. в этих пределах практически уложится все количество (правило трех сигм).
Если, например, вычислено, что при ручном управлении процессом среднеквадратичное отклонение параметра составило 11,22, а при автоматическом регулировании 5,1, то говорят, что колеблемость параметра во втором случае меньше в 2,2 раза.
Сравнение изменчивости различных параметров еще не дает возможности судить, какой показатель более изменчив. Поэтому при решении вопроса об изменчивости того или иного параметра недостаточно знать только среднеквадратичное отклонение, а необходимо вычислить относительную изменчивость этого параметра, т. е. так называемый вариационный коэффициент, или коэффициент изменчивости. Вариационный коэффициент вычисляют по формуле.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100