Техническая документация

Принятие решений о годности продукции на основе информационных критериев. Пусть заданы дискретные пространства X и V некоторых обобщенных событий. Наблюдение в эксперименте конкретного события уъ приводит к изменению вероятности какого-либо события х\ от Р (**) до Р (хь/ук)- Для указания того, какое именно событие имело место, вводится решение из дискретного пространства II.
Правило решения 6 устанавливает соответствие между решениями и результатами эксперимента, приписывая в общем случае каждому решению и, некоторую вероятность (рандомизированная стратегия). Сущность принятия решения состоит в задании на основе наблюдения.
Использование понятия функции правдоподобия Ь, значение которой численно равно условной вероятности, а также естественных допущений о свойствах информации приводит к следующему выражению для количества информации, содержащейся в относительно, которое можно трактовать как меру изменения (прироста) правдоподобия некоторого события, если наблюдалось другое: первый член можно трактовать как неправдоподобие следствия уъ, а второй член — как неправдоподобие причины XI с точки зрения наблюдаемого следствия г/ь.
Если вместо использовать, то величину можно рассматривать как количество информации о событии XI, содержащейся в некотором решении.
Можно также представить ^ в следующей форме: которая является основополагающей для формулировки выводов из рассматриваемого подхода.
При выборе правила решения б следует исходить не из количества получаемой информации, а из ее ценности (полезности), измеряемой разностью ожидаемых потерь до и после получения информации. Пусть ^ и ю2 — потери соответственно до и после получения информации / (х*, и^) о событии Х(, когда принимается решение иу. Тогда можно использовать следующий вариант введения соотношения для ценности информации, где В. (**) — не зависящий от принятого' решения коэффициент ценности информации, т. е. ценность единицы информации о событии щ. Более тщательный анализ этого допущения называет его достаточную общность и содержательность.
Для ценности информации и полной средней ценности V информации могут быть получены соотношения.
Из последнего выражения следует, что средняя ценность информации измеряется не уменьшением усредненных потерь (как принято обычно предполагать), а средним уменьшением потерь, что позволяет оценивать принимаемые решения при каждом конкретном исходе.
Оптимизация планов контроля на основе информационных критериев.
Формирование контрольных планов производится в условиях, когда принимаемое решение не фиксировано, а является случайным, так как зависит от случайного исхода эксперимента. Решение их будет принято лишь в том случае, если фактически наблюдавшееся в эксперименте количество отказов т <5 (5 — приемочное число). В противном случае принимается решение и0. Это означает, что с некоторой вероятностью Р (их) в результате испытаний по данному плану будет получена информация, полезность которой равна V (X, их), а с вероятностью Р (щ) =1 — Р (их) — информация, полезность которой равна V (X, и0). В этих условиях полезность информации, полученной при использовании данного плана испытаний, определяется математическим ожиданием полезности информации при отдельных случайных решениях.
При использовании информационного подхода максимальная разность между величиной V (X) и стоимостью эксперимента С (п) соответствует оптимальному плану контроля:
Метод формирования контрольного плана, основанный на использовании критерия полезности информации, в дальнейшем тексте называется КПИ-метод.
Реализация принципа максимума критерия полезности информации приводит к алгоритму определения многошагового процесса испытаний. Задача по существу сводится к определению объема испытаний на каждом шаге с учетом возможных исходов испытаний на предыдущих шагах.
При реализации указанного КПИ-метода значения рисков заказчика и изготовителя не задаются. Поэтому для рационального выбора приемочных чисел должно быть сформулировано дополнительное условие, например, минимизация среднего объема испытаний до принятия решения и0 о соответствии, которое должно приниматься в подавляющем большинстве случаев.
Другой принципиальной особенностью КПИ-метода является то, что неизвестный параметр р рассматривается как случайная величина (в отличие от традиционных методов формирования контрольных планов, где р считается неизвестной величиной, но неслучайной). Только при такой интерпретации имеет смысл использовать закон распределения возможных значений параметра надежности в той или иной ситуации.
Критерий полезности (ценности) информации может быть непосредственно использован для выбора решения по результатам испытаний, если известен объемом п (т — число отказов).
Если хх и х0 — события, состоящие в том, что изделие удовлетворяет и, соответственно, не удовлетворяет требованиям, то процедура выбора решения заключается в определении Я («1), Я (ы0). * (*ъ «1), 1 (*ъ «о), расчете V (X, их), V (X, и0) и сравнении полезностей информации об ансамбле X в решениях их и ы0 на основе следующего условия.
В двух-альтернативном случае, когда это условие выполняется, принимается решение их, когда неравенство не выполняется — решение.
В граничном случае неравенство превращается в равенство, по которому для заданного р можно построить границу областей приемки и браковки
Когда точка (л, т), соответствующая исходу испытаний, попадает в область приемки, принимается решение и±, когда она попадает в область браковки — щ. В точках, лежащих на границе областей, полезность информации в решениях иг и и0 одинакова и безразлично, какое решение принять.
Описанная процедура позволяет выбрать I одно из двух альтернативных решений их или к0- Необходимо, чтобы выбранному решению соответствовали определенные качественные показатели, например, модифицированные риски изготовителя и заказчика не должны превышать установленных значений. С учетом этого условия определяются границы областей браковки и приемки.
Особенностью постановки задачи планирования испытаний по КПИ-методу является то, что качественным показателем принятого решения служит полезность полученной об ансамбле X информации с учетом затрат на ее получение. Эти затраты С (л) определяются стоимостью эксперимента. Оптимальным считается такой план испытаний, при котором указанный показатель наибольший.
Во всех точках области приемки принимается решение и1г но полезность информации и затраты С (л), соответствующие различным точкам области, будут различны. Очевидно, что задача оптимального планирования контрольных испытаний при фиксированном решении (например, их) состоит в выборе такой зависимости 5опт (л), целиком лежащей в области приемки, при которой разность 47 (X, их) полезности информации V (X, их) и стоимости эксперимента С (я) максимальна.
Задача оптимального планирования существенно отличается от задачи выбора оптимальных интервальных оценок надежности (доверительных вероятностей и интервалов) при определительных испытаниях. В последнем случае эксперимент объемом л уже проведен (С (л) = сопз!) и его результат р известен. Поэтому выбор оптимальных интервальных оценок надежности может производиться по максимальному количеству полученной информации ^ (X, иг), если коэффициенты полезности информации одинаковы [величина / (X, иг) имеет максимум на множестве возможных интервальных оценок].
Оптимальное планирование контрольных испытаний удобнее сводить не к определению зависимости оптимального приемочного числа 30ПТ (я) от объема эксперимента, а к нахождению обратной зависимости я0Пт (5), когда в качестве аргумента используется приемочное число (5 = 0, 1, 2, ...) и определяется оптимальный объем испытаний для этого приемочного числа.
При фиксированном решении иг и некотором заданном приемочном числе 3 количество полученной информации 3 (X, иг) и ее полезность V (X, иг) возрастают с увеличением объема испытаний (приближаясь к своим асимптотическим значениям), стоимость эксперимента С (л) также увеличивается, но неограниченно. В этих условиях должен существовать максимум их разности 47 (X, Ых), соответствующий значению лопт, определяемому соотношением.
На рис. 8 видно, что с увеличением приемочного числа значение яопт возрастает, кроме того, существует максимальное приемочное число, при превышении которого затраты на проведение испытаний больше полезности полученной информации при любом объеме испытаний.
Испытания планируются в условиях, когда принимаемое решение не фиксировано, а является случайным, ибо зависит от случайного исхода эксперимента. Решение их будет принято лишь в том случае, если фактически наблюдавшееся в эксперименте число отказов т ^ 5. В противном случае Принимается решение и0.
В этих условиях полезность информации, полученной при использовании данного плана испытаний, определяется математическим ожиданием V (X) полезности информации при отдельных случайных решениях. Максимальная разность между V (X) и стоимостью эксперимента соответствует оптимальному плану контрольных испытаний на надежность:
Ш = V (X) — С (л) = М [V (X, щ) — — С (л) ] - шах.
Полезность информации У5 (X) при любом плане контрольных испытаний, характеризующемся ограниченным приемочным числом 5, имеет максимум (рис. 9). Можно сделать важный вывод: объем контрольных испытаний, когда приемочное число ограничено, не должен превышать (я3)0ПТ даже в том случае, когда стоимость этих испытаний равна нулю. Значение (Яд) определяется из решения уравнения.
Реальная зависимость стоимости С (п) контрольных испытаний от их объема обычно специфична для данного изготовителя. Однако во всех практически встречающихся случаях можно утверждать, что она является возрастающей и выпуклой. При этом оптимальный объем испытаний (^)ОПТ) определяемый из соотношения АУ3(Х) АС (л), будет всегда меньше («3)опт для любого заданного приемочного числа 5.
Весьма затруднительным является определение величин потерь С (х0, их) и С {хх, и0), а также рациональный выбор допустимого уровня надежности р. Эти вопросы можно решать, используя идею, что надлежащий выбор р определяется отношением потерь
С (*0) их)1С (*!, и0) заказчика и изготовителя при ошибочных решениях. Действительно, в соответствии с КПИ-методом в двуальтернативной ситуации для коэффициентов полезности информации справедливы соотношения (а = 1 — р):
Я (и±) = С (0, г) (1 — а)! — 1п а; Я (и0) = С (х1з и0) а!— 1п (1 — а).
Если допустить, что оптимальный план контрольных испытаний изделий инвариантен к их использованию в дальнейшем (т. е. не зависит от последующего их применения, что, например, для многих элементов и предполагается), то математическим выражением такого условия может служить равенство коэффициентов полезности информации при альтернативных решениях и± и и0, т. е.
Анализ зависимости р = [ [С (х0,иг)/С (!, «0)1 (рис. 10) показывает, что если отношение потерь равно, например, единице, то целесообразно установить р_ = 0,5 (что вполне логично); допустимому уровню надежности р = 0,9 соответствует отношение потерь 2,5 и т. д.
Таким образом, можно по установленному отношению потерь С (*0, и^)!С (*!, к0) выбрать надлежащий допустимый уровень надежности (обычно это делает заказчик по соглашению с изготовителем).
Оптимизация планов контроля с использованием критериев полезности информации. КПИ-методика состоит в следующем.
Заказчиком по согласованию с изготовителем оценивается отношение потерь С (х0, «1)/С (х1г и0) в случаях, когда принимается несоответствующая установленным требованиям партия (изделие) и бракуется партия (изделие), отвечающая этим требованиям. По величине этого отношения с помощью графика на рис. 10 выбирается допустимый уровень р надежности изделия. (р = рн).
Величина р может быть установлена заказчиком и на основе любых других соображений, чем фактически фиксируется в соответствии с графиком на рис. 10 отношение потерь С (х0, иг)/С (х1г щ).
Изготовителем по согласованию с заказчиком устанавливается число отказов <7+1, при наблюдении которого испытания усекаются и заканчиваются решением и0 о браковке. Тем самым определяется предельное приемочное число 5 и номер плана испытаний. Конкретный выбор <7 + 1 (или 5) на практике производится на основе ориентировочной оценки изготовителем соотношения между истинным ри и допустимым р уровнями надежности изделий. Если есть основания считать, что ри значительно больше р, принимается 7+1 = 1 и 5 = 0, т. е. выбирается план 1. Если ри существенно больше р, принимается <7+ 1 = 2 и 5 — 1, т. е. выбирается план 2. Когда величина ри близка к р, принимается <7+1=3 и 5 = 2, т. е. план 3. С увеличением предельного числа 5 объем испытаний возрастает.
Если при использовании плана 3 удельный вес отклоняемых партий велик, то нецелесообразно затрачивать время и средства на дальнейшее увеличение объема испытаний. Ясно, что уровень надежности изделий низок, и вместо увеличения затрат на испытания следует использовать эти средства на повышение реального уровня надежности конструктивными и (или) технологическими мероприятиями.
По установленному допустимому уровню надежности р и выбранному предельному приемочному числу 5 с помощью табл. 6 или по графикам на рис. 11 определяется оптимальный объем испытаний (я&)опт- С учетом эксперимента по формированию априорной плотности вероятности возможных значений надежности общий объем испытаний будет равен (я8)0цт+ + 1. По указанной таблице или по графикам на рис. 12 и 13 находятся значения рисков средний объем испытаний до принятия решения и± о приемке. При этом испытания представляют собой многошаговый процесс. На первом шаге испытываются («0)опт изделий в течение заданного времени Тэ. Если отказов не было, партия принимается. Если был отказ, с момента его наблюдения испытанию дополнительно подвергаются (п1)опт—(л0)опт изделий, которые также испытываются в течение ' времени Тэ. Если больше отказов не наблюдалось, партия принимается. В противном случае дополнительно испытывают (л2)опт — («Оопт изделий и т. д. Усечение испытаний производится в тот момент времени, когда число имевших место отказов /п > 5. При этом выносится решение и0 о браковке.
Средний объем испытаний й0 при оптимальном плане 1 (5 = 0) равен (яо)опт-
Средний объем испытании при оптимальном плане 2 (5 = 1)
Выигрыш в среднем объеме испытаний сопровождается увеличением их средней продолжительности. Для плана 2 она составляет примерно 1,5Т3, а для плана 3 — примерно 2Г3. Точное значение средней продолжительности испытаний зависит от закона распределения отказов изделий.
В некоторых конкретных условиях увеличение времени испытаний нежелательно или невозможно. Тогда в соответствии с выбранным планом и установленным 5 определяется соответствующий оптимальный объем испытаний (Яд)опт- Контрольные испытания на надежность представляют собой одношаговый процесс, причем все изделия испытываются в течение времени Т3. Решение иг о приемке принимается, если число наблюдавшихся отказов т ^ 5, решение и0 о браковке — если число отказов т > 5.
В частном случае, когда имеет место экспоненциальный закон надежности, допустимый уровень надежности может задаваться наибольшей величиной интенсивности отказов Я. Значение р
определяется выражением р — е 3
после чего планирование испытаний производится обычным порядком*
В рассматриваемом случае справедливы условия эргодичности, вследствие чего имеется возможность при планировании испытаний варьировать временем и объемом последних. При этом на каждом шаге испытаний должна сохраняться суммарная наработка выборки для соответствующего приемочного числа, т. е. должно соблюдаться соотношение [1+ (лв)опт] Та = = сопз1:.
Время испытаний может быть существенно уменьшено по сравнению с Тэ путем увеличения числа испытываемых изделий.
При одношаговом процессе испытаний, когда оптимальный объем выборки соответствует предельному приемочному числу 5, испытания заканчиваются решением их о приемке при достижении наработки [1 + опт ] Т3, если отказов не наблюдалось, далее при достижении наработки [1 + («1)0пт] Т3, если наблюдался один отказ, и т. д.
Пример 9. Необходимо выбрать план контрольных испытаний некоторого невосстанавливаемого изделия, имеющего заданное время нормальной эксплуатации Т3 = 2000 ч. Закон распределения времени безотказной работы неизвестен, и контроль производится по заданному допустимому уровню надежности р (Т3) = 0,9.
При планировании контрольных испытаний методом однократной выборки надо знать приемлемый уровень надежности р0 и модифицированные. величины рисков а' и Р' изготовителя и заказчика. Пусть р0 ~ 0,97; а' = (3' = 0,1. Тогда параметры плана испытаний (число испытаний и приемочное число): п = 80, 5 = 4; если же, например, а/ — Р' ='0,2, то п = = 29, 5 = 1.
При планировании контрольных испытаний по тем же исходным данным двухступенчатым методом пх = 23, 5Х = 0; п2 — 6, $2 = 1 • Среднее количество испытуемых образцов пср = = 25, что примерно на 15 % меньше, чем при контроле надежности методом однократной выборки.
При оптимизации планирования контрольных испытаний по КПИ-методике для р = 0,9 и плана 2 с наибольшим приемочным числом 5 = 1 согласно графикам на рис. 11 найдем л0пт = = 17. Следовательно, полный объем контрольных испытаний равен лопт + + 1 = 18, что примерно на 30 % меньше, чем в предыдущем случае.
Пример 10. Пусть срок службы изделий Т3 = 1000 ч, а отношение потерь при приемке несоответствующей ТУ партии к потерям при браковке партии, отвечающей требованиям ТУ, равно трем. В этом случае в соответствии с графиком на рис. 10 следует установить допустимый уровень надежности р (Т3) = р (1000) = 0,95. Изготовитель считает, что истинный уровень надежности предъявляемых к приемке изделий существенно больше р и по согласованию с заказчиком выбирает план 2 контрольных испытаний с предельным приемочным числом 5=1.
Вначале спланируем двух-шаговый процесс испытаний. На первом шаге при 5 = 0 в соответствии с данными табл. 1 (или графиком на рис. 11) для р = 0,95 следует испытать («о)опт = = 13+1 = 14 изделий. Если в течение времени испытаний, равного сроку службы (73 = 1000 ч), отказов не наблюдается, партия принимается. Если имеет место отказ, испытаниям дополнительно (второй шаг) подвергаются изделий, которые также должны испытываться в течение 1000 ч. Если больше отказов не было, партия принимается, а в противном случае бракуется. Средний объем испытаний (с учетом вероятности перехода на второй шаг) равен 27 + I = 28 изделий. Средняя продолжительность испытаний увеличивается в 1,5 раза. Поскольку объем испытаний (число изделий) незначительно отличается от (п1)опт + 1 = 29, а среднее время испытаний существенно возрастает, использование двух-шагового процесса испытаний нецелесообразно. На испытания продолжительностью 1000 ч следует поставить одновременно 29 изделий и принять решение о приемке, если наблюдалось меньше двух отказов. Решение о браковке принимается сразу же после наблюдения второго отказа, и испытания прекращаются.
Таким образом, полный (оптимальный) объем испытаний равен 29 изделиям, риск изготовителя а0пт = 0,131, риск заказчика р01ГГ = 0,046.
Пример 11. Пусть для изделий со сроком службы 40 000 ч и с распределением надежности по экспоненциальному закону в нормативной документации установлена допустимая интенсивность отказов Яд=2,5‘10"в 1/ч.
Допустимый уровень надежности
р = е-2.5*10-’*4.10-^-0.1^0 ^
Необходимо спланировать контрольные испытания на надежность.
Изготовитель считает, что истинный уровень надежности значительно больше р. Поэтому следует выбрать план 1 с приемочным числом 5 = 0. По табл. 6 определим оптимальный объем выборки («о) о пт = ® изделиям. Полный объем испытаний — 8 + 1 = 9 изделий. Риск изготовителя аопт = = 0,319, риск заказчика ропт = 0,047.
Изделия должны испытываться 40 000 ч. Поскольку надежность распределяется по экспоненциальному закону, целесообразно уменьшить время испытаний, увеличив их объем. Если выбрать время испытаний равным, допустим, 1000 ч, то оптимальный объем испытаний будет равен  40 000 9 = 360 изделиям, что в
1,67 раза меньше, чем рекомендуется действующими в настоящее время методиками.
Подход к формированию контрольных планов КПИ-методом принципиально отличен от формирования планов контроля другими методами, что создает некоторые трудности при их сравнении.
Представляется правильным сравнивать конечные результаты при числовых значениях исходных данных, наиболее часто используемых на практике или рекомендуемых нормативными документами.
Например, обычно рекомендуется планировать контрольные испытания при фиксированном значении доверительной вероятности у = 0,8, по величине которой рассчитаны объемы выборок в зависимости от р и приемочного числа 5.
Модифицированные риски а и р обычно принимаются равными 0,1.
Особую сложность представляет задание отношения х = 1, величина которого весьма неопределенна. Задания величины х можно избежать, если производить сравнение методов для одних и тех же приемочных чисел. При этом оказывается, что величина х весьма велика и объемы выборок минимальны, т. е. сравнение будет происходить в наиболее неблагоприятных для КПИ-метода условиях.
Результаты сравнения для приемочных чисел 5, равных 0; 1 и 2, приведены в табл. 7. Они показывают, что при формировании контрольных планов КПИ-методом объем испытаний всегда меньше, чем при других методах (для р_— 0,9 — в 1,5—2 раза, а для р — 0,99 — в 3—4 раза), что дает существенный экономический эффект. При увеличении или уменьшении объемов испытаний полезность эксперимента (измеряемая, в частности, в руб.) значительно снижается. Так, для р = 0,95 и 5 = 0 при увеличении объема испытаний с 13 до 32 изделий полезность эксперимента уменьшается на 16%, а при объеме испытаний в 45 изделий уменьшается на 35 % и при этом равна полезности, получаемой при испытании только трех образцов. Именно в этом и заключается основной эффект, получаемый при формировании контрольных планов КПИ-методом.
Эффект, получаемый при оптимальном планировании контрольных испытаний по критерию полезности информации, оказывается тем больше, чем выше надежность изделия.