Статистические методы контроля качества продукции
Общие сведения. Различают два варианта статистического контроля качества продукции: непараметрический (по качественному признаку) и параметрический (по количественному признаку).
При непараметрическом контроле все изделия в проверяемой выборке разбиваются на две группы: годные (кондиционные) и негодные (дефектные). В этом случае оценка партии изделий проводится по величине доли дефектных изделий в выборке.
При параметрическом контроле у каждого проверяемого изделия (выборки изделий) определяется один или несколько количественных параметров. В этом случае оценка партии изделий проводится по статистическим характеристикам распределения определяемых параметров.
Непараметрический контроль. Характеристикой качества партии является доля дефектных изделий в партии: где N — общее число изделий в партии; М — число дефектных изделий в партии.
Вероятность приемки партии Р по результатам выборочного контроля зависит от доли дефектных изделий в партии 7 и от плана контроля (план контроля определяет объем и число выборок, их последовательность, приемочные и браковочные числа).
При фиксированном плане контроля существует зависимость
Р = Р (Ф)
которая называется оперативной характеристикой данного плана контроля (рис. 1).
Устанавливают два уровня качества (см. рис. 1): приемочный (ПРУ К), при котором ц = <7а, и браковочный (БРУК).
Риском поставщика (изготовителя) а называется вероятность бракования партии изделий с приемочным уровнем качества:
ос=1 -ЯЫ
Риском заказчика (потребителя) называется вероятность приемки партии изделий с браковочным уровнем качества:
$ = Р Ы. (30)
В общем случае расчеты по уравнениям (28)—(30) проводятся при помощи гипергеометрического распределения. Если величина объема выборки п удовлетворяет условию
я < 0,Ш
то эти расчеты можно вести при помощи биномиального распределения. Если еще величины <7а, удовлетворяют условию
то эти расчеты можно вести при помощи распределения Пуассона.
Устанавливается оценочный норматив (приемочное число) для количества т или доли дефектных изделий т
у = в выборке из условия, что:
при т < с (^ < <7С) партия изделий является годной (кондиционной);
при т > с (ц > <7С) партия изделий является негодной (дефектной).
Параметрический контроль. При параметрическом контроле качества, в частности надежности, у каждого проверяемого изделия (выборки изделий) определяется один количественный параметр х (при контроле надежности — это наработка изделия до отказа, на отказ или между отказами, время или трудоемкость восстановления работоспособности изделия и т. д.), который в партии изделий имеет определенное распределение.
В свою очередь, как непараметрический, так и параметрический статистический контроль может быть одноступенчатым или многоступенчатым.
Одноступенчатый контроль осуществляется по результатам одной выборки, а многоступенчатый — по результатам нескольких выборок, при этом каждой выборке, в общем случае, соответствует свой оценочный норматив (приемочный и браковочный уровень).
Многоступенчатые планы контроля более экономичны по сравнению с одноступенчатыми планами, но организация их вызывает большие трудности.
Непараметрический одноступенчатый контроль. Оперативная характеристика плана одноступенчатого статистического контроля доли дефектных изделий в партии при выполнении условия (31) определяется соотношением
План контроля (объем выборки п и оценочный норматив с — допустимое количество дефектных изделий в выборке) определяется путем решения.
Требуется установить план непараметрического одноступенчатого контроля доли дефектных изделий в партии объемом N = 600. Заданные контрольные уровни соответственно равны: <7а = 0,03 и ?р = 0,09. Допустимые риски поставщика и заказчика составляют а = Р = 0,20.
Учитывая, что (7 < 0,10, и предполагая л < 0,Ш, оперативная характеристика плана контроля будет описываться выражением (39), а параметры плана контроля (с, л) будут определяться зависимостями (41)—(44).
С учетом соотношения (43) установим требуемый объем выборки п = 51. Убедимся в выполнении условия (31), т. е. 51 < 0,1 -600 = 60. Таким образом, искомый план контроля характеризуется величинами п = 51 и с = 2.
Непараметрический многоступенчатый контроль. Многоступенчатый контроль может быть двух-, трех ступенчатым (и более). Предельным случаем многоступенчатого контроля является последовательный контроль.
При заданных рисках поставщика а и заказчика (5 метод последовательного анализа обеспечивает значительно меньший объем испытаний, чем одноступенчатый контроль (метод однократной выборки).
Объемы испытаний, соответствующие методам двух-, трехкратной выборки (и более), занимают промежуточное значение между объемами испытаний, соответствующими методам однократной выборки и последовательного анализа. Поэтому многоступенчатый контроль в виде метода последовательного анализа получил широкое применение при испытаниях серийной продукции.
В интересах сочетания преимущества планирования, которыми обладает одноступенчатый контроль (метод однократной выборки), с экономическими преимуществами метода последовательного анализа на практике применяют усеченный последовательный контроль, который заключается в следующем: максимальный объем испытаний планируется по методу одноступенчатого контроля;
испытания ведутся вначале по методу последовательного анализа, при котором оцениваются результаты испытаний;
при достижении максимального объема испытаний, запланированного по методу одноступенчатого контроля, испытания прекращаются, и оценка их результатов производится по методу однократной выборки.
Для обеспечения комплексного воздействия всех внешних факторов (условий и режимов работы) при оценке качества (надежности) изделий максимальный объем проводимых испытаний делится на несколько (обычно два — пять) одинаковых циклов. В каждом цикле испытаний воспроизводится воздействие всех внешних факторов, а оценка результатов испытаний проводится после окончания каждого цикла.
При усеченном последовательном контроле несколько изменяются риски поставщика а и заказчика р. Однако это изменение весьма незначительно, поэтому на практике им можно пренебречь.
Метод последовательного анализа основывается на применении отношения правдоподобия:
Параметрический одноступенчатый контроль. Такой контроль показателей безотказности — наработки до отказа (на отказ, между отказами) — осуществляется по выборочному среднему (33) значению Г в соответствии со следующими условиями: приемки, где Та, Гр — уровни среднего значения наработки на отказ (до отказа, между отказами) соответственно приемочный и браковочный; V — коэффициент вариации наработки на отказ (до отказа, между отказами); т — необходимое для контроля среднего значения наработки на отказ (до отказа, между отказами) количество измерений или отказов.
План контроля (количество измерений т и оценочный норматив Тс) определяется путем решения уравнений (61) относительно.
При нормальном распределении наработки до отказа (на отказ, между отказами) соотношения (61) принимают вид.
Зависимость между суммарным объемом испытаний (?в, тв) и оценочным нормативом Твс определяется выражением (83).
Пример 4. Время восстановления работоспособности изделия имеет распределение Вейбулла с параметром формы Ь = 1,5. В технических условиях на производство изделия установлены приемочный Тва = 0,50 ч и браковочный Твр = 0,75 ч уровни среднего времени восстановления работоспособности, а также соответствующие им риски поставщика а = = 0,1 и заказчика Р = 0,1. Требуется установить план одноступенчатого статистического контроля времени восстановления работоспособности изделия.
На выражения (88) найдем Тъс — = 0,625. По соотношению (83) определим суммарное время восстановления /в = 18*0,625 = 11,25 ч. Таким образом, искомый план одноступенчатого статистического контроля времени восстановления работоспособности характеризуется величинами 11,25 ч и Твс = 0,625 ч.
Параметрический многоступенчатый контроль. Основным видом параметрического как и непараметрического многоступенчатого контроля качества продукции на стадии серийного производства является метод усеченного последовательного анализа, при котором в пределах объема испытаний, соответствующего методу одноступенчатого контроля, решения принимаются по правилам последовательного анализа, а по достижении максимального объема испытаний, запланированного по методу одноступенчатого контроля, испытания прекращаются и оценка их результатов производится методом однократной выборки.
При многоступенчатом статистическом контроле показателей безотказности — наработки на отказ до отказа, делить коэффициент формы аппроксимирующего распределения Вейбулла в зависимости от коэффициента вариации Ь — ф (V) при помощи зависимостей (74)—(76).
В свою очередь, при многоступенчатом статистическом контроле показателей ремонтопригодности — времени (трудоемкости) восстановления работоспособности — решения принимаются с учетом условий: шв св. дР — прекращения испытаний и приемки (соответствия ремонтопригодности установленным требованиям).
Соответственно, линии приемки ев. пр и бракования св. бр при многоступенчатом статистическом контроле ремонтопригодности времени (трудоемкости) восстановления работоспособности — определяются следующими зависимостями.
Приведенными соотношениями при контроле ремонтопригодности можно пользоваться при различных распределениях после предварительного определения коэффициента формы аппроксимирующего распределения Вейбулла при помощи зависимостей (74)—(76) в зависимости от величины коэффициента вариации Ь = ф (и).
Пример 5. Для условий примера 4 установить план параметрического многоступенчатого (усеченного последовательного) статистического контроля времени восстановления работоспособности изделия.