Техническая документация

Типовые инженерные приложения задачи выбора рациональных контрольных интервалов. При формализации и оптимизации контрольных процедур возникает необходимость решения одной практически очень важной задачи, связанной с рациональным выбором контрольных интервалов ДД1 — число контрольных точек) на некотором подконтрольном участке длиной. Такая задача, например, возникает при анализе, контроле и регулировании показателей качества и надежности изделий и технологических процессов; при исследовании технологичности изделий и стабильности технологических процессов, качества и надежности изделий (материалов) и технологических процессов различными физическими методами неразрушающего контроля, а также методами имитационного моделирования; при разработке программ заводских испытаний изделий в части разделов, касающихся расстановки датчиков температур, напряжений, деформаций, перемещений и других физических параметров; при анализе различных автоматизированных диагностических систем и комплексов; при оптимизации потоков информации в базах и банках данных для задач исследования качества и надежности изделий и технологических процессов; при исследовании тенденций изменения во времени показателей качества изделий и технологических процессов и в целом ряде других важных инженерных приложений.
В ходе анализа, контроля и регулирования показателей качества и надежности изделий и технологических процессов необходимость решения данной задачи возникает при построении структурно-функциональных схем качества и надежности конкретных технических объектов, в процессе которого устанавливаются наиболее ответственные узлы, агрегаты и комплектующие изделия («критические элементы») и прогнозируются их предельные состояния; при расчете, анализе и контроле конкретных показателей качества и надежности изделий и технологических процессов или количественных признаков их характеризующих, представляемых (непосредственно измеряемых, рассчитываемых, моделируемых и т. д.) в виде скалярных или векторных случайных величин и распределенных определенным образом во времени и пространстве; при установлении конкретных законов и схем регулирования в контролирующих системах и устройствах (как автоматизированных, так и неавтоматизированных) в процессе анализа и синтеза конструкторско-технологических разработок сложных технических объектов и комплексов и средств технологического оснащения производств; при установлении дискретности контроля непрерывных технологических процессов и производств и т. д.
Формализация процессов исследования качества и надежности изделий и технологических процессов различными физическими методами неразрушающего контроля (акустическими, капиллярными, оптическими, тепловыми, электрическими и т. д.) предполагает применение локальной дефектоскопии, с помощью которой определяется местонахождение дефектов и неисправностей в материалах и изделиях и локализуются причины их проявления, а также интегральной дефектоскопии, с помощью которой прогнозируется выходное качество и надежность объектов.
Задача дискретизации временных и физических параметров как самих объектов, так и исследуемых дефектов в локальной и интегральной дефектоскопии играет исключительно важную роль. Эта задача может быть решена с использованием методов выбора рациональных контрольных интервалов.
Формализация задачи выбора рациональных контрольных интервалов.
В общем случае задачу выбора рациональных контрольных интервалов следует ставить и решать как применительно к временным интервалам, так и интервалам контроля параметров изделий и технологических процессов. Формально к решению данной задачи можно подойти путем определения некоторого достаточно общего критерия. Таким критерием может служить оценка вероятности нахождения некоторого количественного признака (скалярного или векторного) на подконтрольном участке длиной С в требуемых по техническим условиям пределах:
Р = ?1?2/1,
где Р-1 — оценка вероятности Р1 нахождения количественного признака х в допустимых пределах во всех N контрольных точках; Р2/1 — оценка условной вероятности Р2/1 на‘ хождения этого признака в допустимых пределах между контрольными точками, т. е. внутри интервалов А*, ..., Д-лг» при условии, что во всех N контрольных точках признак х, представляющий собой определяющий параметр (или совокупность параметров) и характеризующий конкретный показатель качества или надежности или технологического процесса, также находится в допустимых пределах.
В общем случае при произвольном законе распределения признака х оценка Рц вероятности Р* может быть вычислена по формуле, где ф — совместная плотность распределения признака х во всех N контрольных точках; нижние и верхние значения признака х в /-х контрольных точках такие, что за пределами этих значений требования к показателю качества (или некоторой совокупности показателей), который представляется данным признаком, следует считать невыполненным.
При небольшой кратности интеграла решение можно получить с помощью разложения Кендалла. При этом используется разложение в многомерный ряд Грама Шарлье типа А. Для получения достаточно точных оценок в практических случаях стремятся сначала максимально понизить кратность интеграла, например, путем замены переменных или некоторых преобразований, делающих возможным эффективно использовать численные методы. В ряде случаев может оказаться целесообразным и возможным осуществить приведение коррелированного вектора к некоррелированному. Однако в практических ситуациях вычисление вероятности  точными методами может быть связано с достаточно серьезными вычислительными трудностями. При произвольных же законах распределения многомерного вектора вычисление вероятности Рх точными методами в общем случае практически невозможно.
Здесь — оценка парного коэффициента корреляции 2-го и 1-го признаков; индекс 1 < 2 под знаком суммы в последней формуле понимается как число всех возможных парных сочетаний (с = N (ТУ — 1)/2):
получаемым разложением функции плотности ф (к) в ряд по степеням к и дальнейшим интегрированием. Это разложение справедливо при к <! 3.
Предпочтительными для практических целей могут быть формулы для вычисления одномерной функции нормального распределения с использованием непрерывных дробей. Для известного отношения Милса такое разложение имеет вид использовать различные аппроксимации функции Р (к), например, зависимость, полученную путем подбора, которая с достаточной точностью аппроксимирует интеграл вероятностей в диапазоне значений.
При имитационном моделировании соответствующих процессов или из специально поставленных экспериментов можно получить уравнение связи вида X = ф В соотношениях (47) и (48) величины е4 представляют собой поправки на нелинейность и вероятностную зависимость параметров, (М — число параметров), статистически значимых в регрессионных уравнениях связи вида X] = ф (2^), число которых определяют, например, с помощью анализа остаточных дисперсий, коэффициентов множественной корреляции и других формальных приемов, разработанных в общей корреляционной теории случайных процессов. Значения поправок (/ = 1, 4) можно вычислить, например, с помощью следующих соотношений: где 5 и 8х2 — средние квадратические отклонения случайных величин и до оценка Я2/1 вероятности Р2/1 может быть найдена с помощью приведенных различных методов.
Методы выбора рациональных контрольных интервалов. Из содержательной и формальной постановки задачи следует, что оценка Р2/\ вероятности Р2( 1 соответствующим выбором длин контрольных интервалов А^ (/ = — I, N — /; N — число контрольных точек) между контрольными точками должна быть сведена к величине, близкой к единице, или, по крайней мере, к такой величине, которая не уточняла бы значение оценки Рх (например, была бы выше на один-два порядка). Решение такой задачи может быть осуществлено различными методами. Рассмотрим некоторые из них.
Метод выбора интервалов А^ с помощью статистического моделирования. При обосновании длин контрольных интервалов на подконтрольном участке длиной Ь (см. рис. 3) имитируются п реализаций случайного процесса х (/,), описывающего вероятностное поведение количественного признака х на этом участке. При этом из теории проектирования конкретных технических устройств предполагаются известными соответствующие детерминистические соотношения (или по данным испытаний предполагаются известными соответствующие множественные корреляционные уравнения) вида X) = ф (г*^), описывающие поведение признака х на подконтрольном участке Ь,. С целью установления общих статистических закономерностей в однотипных технических устройствах целесообразно пользоваться безразмерными относительными величинами. Для этого строится совокупность кривых XI = XI с шагом дискретности А* (рис. 5 и рис. 6). Шаг дискретности может быть установлен следующим образом. Представим реализации XI (Ь*) в виде оценки х0 (Ь*) математического ожидания некоторого центрированного случайного процесса. Выберем некоторым произвольным образом первоначальный шаг дискретности А*, ориентируясь на физическую сущность случайного процесса х (I*). Интервал А* будем выбирать из условия, что число выбросов Вд дискретного случайного процесса за некоторый постоянный уровень будет отличаться от числа Вн непрерывного случайного процесса не более чем на наперед заданную величину.
Если при этом удовлетворяется условие (55), то интервал А5 первого приближения будет являться искомым интервалом А*, т. е. А* = А*. В противном случае интервал уменьшается наполовину и делается следующее приближение и так до тех пор, пока не будет выполнено условие (55).
После того, как получены п реализаций дискретного случайного процесса х (Ь*) по максимальным (см. рис. 5) и минимальным (см. рис. 6) значениям реализаций х$ (Ь*), проводятся огибающие х (Ь*)- Затем по максимальным (минимальным) значениям огибающих х (Ь*) проводятся сечения 1—1, 2—2 (и т. д.), параллельные оси ординат, и таким образом устанавливаются контрольные интервалы.
В полученных таким образом контрольных точках 1, 2, ..., N по п реализациям случайной функции х (Ь) вычисляются оценки средних значений и средних квадратических отклонений признака х, а также оценки парных коэффициентов корреляции, которые являются исходными данными для вычисления оценки Рг.
Метод выбора интервалов А, основанный на теории выбросов случайных процессов. Данный метод заключается в определении вероятности выброса случайной функции за некоторый предельный постоянный уровень и сравнении этой вероятности с некоторой заданной величиной. При этом методика основана на выборе интервала за интервалом, т. е. сначала обосновывается длина интервала Д^, затем Д2 и т. д. Необходимость решения данной задачи в такой постановке возникает при проведении различных инженерных оптимизационных расчетов, например, при выборе оптимального соотношения толщин теплоизоляционного покрытия и несущих элементов теплонапряженных конструкций изделий при некотором заданном уровне надежности.
В общем случае параметр потока X (Ь*) необходимо находить с помощью соотношения (63). В частном случае, при нормальности и стационарности случайной функции, где В0 — среднее число пересечений снизу вверх реализациями х% (Ь*) (см. рис. 5) среднего значения х0, приходящегося на единицу длины координаты Ь*\ ф (й) = (2л;)"1 ехр (—й2/2) — функция плотности нормированного нормального распределения пара-метра й; й = «р-^)/5х1; среднее квадратическое отклонение случайной величины х в сечении 1—1.
Метод выбора интервалов А^, основанный на общей корреляционной теории. В ряде практических случаев определение граничных значений признака х (*пр» *пр) могут вызвать затруднение. В этих случаях для нестационарной нормальной случайной функции х можно воспользоваться следующим приближенным подходом. Оценку Р± вероятности Рг невыброса случайной функции х (Ь*) одновременно в сечениях 1—1 и 2—2 (см. рис. 5) за некоторый предельный уровень
Величина интервала Аг находится при известном значении коэффициента к из содержательного анализа конкретных инженерных задач. Для некоторых типовых задач значение коэффициента к = 3-М0.
При определении величины интервала Ах по соотношению вида, например (46) или (54), строится корреляционная функция гц (Д|) для интервала Ах (рис. 7). Затем по известному значению коэффициента к определяется конкретное значение функции гх (Ах), а по этому значению из графика находится интервал Ах. Аналогичным образом по графику га (Аа) находится интервал Д2 (и далее вплоть до последнего интервала А-1 на подконтрольном участке длиной).
Если значение коэффициента к установить затруднительно, то интервал (1=1, N — 1) можно приближенно определить из оценки степени коррелированности признака х в двух соседних контрольных точках. Значение признака х в двух соседних контрольных точках можно считать практически некоррелированным, если, например, корреляционная функция г (А) снизится до 0,05. Это численное значение наиболее часто употребляется в самых различных вероятностных расчетах широкого класса инженерных задач. Однако в общем случае уровень статистической, значимости корреляционной функции г (А) в подобного рода задачах является предметом специальных оптимизационных исследований применительно к конкретным целевым функциям. Величину Д0 (рис. 8) при т (А) = 0,05 принято называть интервалом корреляции. В практических случаях обычно величину интервала А0 принимают равной половине ширины основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой модуля нормированной корреляционной функции, т. е., где г (А) — аналитическая аппроксимация корреляционной функции г (А).
Пример расчета показателя надежности изделия, иллюстрирующий практическое применение данной задачи. Пусть проведено 16 заводских автономных испытаний ответственного узла изделия. Узел представляет собой составную часть некоторой машины однократного применения, работающей в тепловом режиме. После окончания каждого испытания были измерены толщины оставшегося теплозащитного покрытия в пяти контрольных точках на подконтрольном участке длиной Ь (см. рис. 3). Результаты измерений таких толщин покрытия на момент окончания работы изделия представлены в табл. 2. По приведенным в табл. 2 исходным данным требуется определить вероятность нена-ступления предельного состояния (прогара узла изделия) при его функционировании в штатных условиях эксплуатации. Иначе говоря, необходимо вычислить точечную оценку Р вероятности Р непрогара теплозащитного покрытия и ее нижний доверительный предел Ру в предположении, что отказ в работе узла изделия происходит в том случае, если хотя бы в одной из пяти контрольных точек толщина покрытия в момент окончания функционирования изделия будет равна нулю (т. е. покрытия не останется или оно прококсуется). При этом Также предполагается, что толщина оставшегося покрытия является случайной нормально распределенной величиной.
Порядок расчета.
1. По данным, приведенным в табл. 2, находят оценки средних значений и средних квадратических отклонений оставшихся толщин покрытия во всех пяти контрольных точках. Результаты расчета сводят в табл.3
2. Строят корреляционную матрицу следующим образом. Для нахождения статистических корреляционных моментов Кик, отвечающих двум точкам / и к, перемножают числа в соответствующих строках табл. 2. Например, если берется точка № 1 (0 и точка № 2 (к), то получают такие произведения: 7,4X7,6; 6,6X6,8 (и т. д. по всем испытаниям). Затем складывают алгебраически полученные значения произведений. Далее полученную сумму делят на число испытаний (л = 16) и вычитают из нее произведение соответствующих средних значений (например, для точек 1 и 2 это будут числа 8,6X6,5, взяты из второй колонки табл. 3). Для получения несмещенной оценки корреляционного момента Кии полученный результат необходимо умножить на п!(п — 1) = 16/15. Общий вид формулы для вычисления корреляционных моментов таков:
Общее число корреляционных моментов с = N № — 1)/2 — 5 (5 — —1)/2.
Результаты расчетов сводят в табл. 4.
3. Строят нормированную корреляционную матрицу. Для этого делят числа, приведенные в табл. 4, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, представленных в третьей колонке табл. 3, т. е.
Например, нормированное значение коэффициента корреляции /‘ц получают как 1,96/(1,4Х 1,4)= 1, оценку Р12 получают как 0,33/(1,4Х 1,1) = 0,21 и т. д. Результаты расчетов сводят в табл. 5, которая носит название нормированной корреляционной матрицы.
4. Находят точечную оценку вероятности безотказной работы узла.
Вопросы оценки точности и обоснования адекватности при построении моделей. В задачах выбора рациональных контрольных интервалов важными моментами являются вопросы точности и обоснования корректности (адекватности) предлагаемых моделей.
Вопросы оценки точности. К вопросу исследования точности результатов на основе анализа оценки Рг вероятности Р, входящей в расчетное соотношение (31), можно подойти следующим образом. Очевидно, что значение оценки Рг зависит от конкретных значений Р17 в выбранных /V контрольных точках. Математически вероятность Рх можно представить'как многомерную величину следующего вида: где Рх  — вероятность ненаступления предельного состояния изделия при его функционировании в /-й контрольной точке (/ = 1, И, N — число контрольных точек на рис. 3).
В наиболее общем виде вероятность, представляющая собой некоторый функционал от выражения (72), можно записать в форме среднего, где функция 1|) (Рг (I*)) — это текущее значение вероятности ненаступления предельного состояния изделия на подконтрольном участке длиной I (см. рис. 3).
Текущее значение вероятности Р± (Ь*) можно связать с некоторыми параметрами г^^ соотношениями вида Рц (Ь*) = Ф (гц), где I = 1, М (М — число параметров); /= 1, N [М — число контрольных точек, в которых вычисляются соответствующие вероятности Р1;-(/,*)]. Эти соотношения во многих практических ситуациях оказываются нелинейными в рабочих диапазонах изменения вероятностей (Ь*) в /-х контрольных точках. Поэтому наиболее эффективный метод усреднения вероятности Рг (Ь*) может быть сведен к расчету ее значений РгХ X (Ь* + /А) в контрольных точках и нахождению оценки среднего значения.
В выражении (77) определяющим является первое слагаемое, что позволяет использовать его в качестве оценки первого приближения для погрешности 6, Второе слагаемое характеризует точность этой оценки. Погрешности б и бх являются случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями. Точность дискретного представления при усреднении вероятности можно оценить квадратом средней квадратической погрешности.
Выражение Е6 (1} — является средним квадратом погрешности вероятности в 1-й контрольной точке. В соответствии с представлениями теории вероятностей оно может быть представлено в виде.
Вопросы обоснования адекватности моделей. При практическом решении задачи выбора рациональных контрольных интервалов на некотором подконтрольном участке длиной I (см. рис. 3) возникает необходимость решения вопроса о достаточно корректной (в смысле инженерной точности) замене непрерывного случайного процесса х (Ь) соответствующим набором дискретных точек с некоторым шагом Д*, т. е. необходимо построить некоторую адекватную дискретную модель этого процесса.
Пусть непрерывный случайный процесс хн (Ь) представлен в виде некоторой дискретной модели как хД (Ц), т. е. последовательностью точек и наблюдается на некотором участке длиной (0, Ь). Автокорреляционная функция такого процесса имеет вид
Процесс дгд (Ь) является усечением процесса хя (Ь). С увеличением числа точек т растет точность отображения % (Ь) дискретным процессом хп (Ь). При т -*> оо хн (Ь) и хД (I) полностью адекватны. Однако с увеличением числа т растут затраты на измерение случайной величины х, а с уменьшением т процесс хД (Ь) становится неадекватным. Следовательно, необходимо установить некоторое рациональное число т при отображении непрерывного случайного процесса хИ (Ь) усечением.
Величина 1>н показывает, во сколько раз уменьшается дисперсия оценки хп процесса хн (Ь) по сравнению с дисперсией самого процесса.
Из графика на рис. 9 следует, что при Ок > 3 относительная погрешность Е)н процесса хн (Ь) стремится
к асимптоте, которая представляет собой наибольшую возможную точность оценки хя процесса Хл (Ь) на интервале [0, Л], если I > 1/с хотя бы в 3 раза.
Если Ь < 3/с, то 2)н л? 1, т. е. статистическая информация на таком интервале не отличается от единичного значения процесса в смысле точности оценки величины.
Рассмотрим точность оценки. Как и в случае оценки, предполагаем, что автокорреляционная функция имеет вид (82). После подстановки (82) в (85) получим.
Очевидно, что соотношение (94) эквивалентно соотношению (93), т. е. при величина.
Из зависимостей следует, что Лд = ф (V**) во всей области значений уд могут быть аппроксимированы как
Соотношение (95) справедливо при VII > 3 и V» < 0,5.
Для пояснения неравенства < < 0,5 рассмотрим область малых значений на рис. 11. Погрешность оценки Од по формуле (95) составит менее 5%. При т > 10 и допустимой погрешности 10 % по формуле (88) можно производить оценку, начиная с V > 1.
Таким образом, если считать, что допускается погрешность в оценке математического ожидания некоторого усеченного случайного процесса до 5 %, то устанавливать шаг дискретности менее нем V** = 0,5 представляется нерациональным из-за излишних затрат.