Техническая документация

При решении конкретных задач анализа и оценки качества и надежности ' осваиваемой и производимой продукции и технологических процессов часто возникают случаи, когда аналитические их решения практически невозможны, а проведение экспериментальных исследований требует неоправданно больших затрат денежных, трудовых и материальных ресурсов. Эффективной мерой в преодолении указанных трудностей является использование методов статистического моделирования.
Анализ качества и надежности продукции и технологических процессов с применением методов статистического моделирования может достаточно эффективно осуществляться: при комплексном моделировании процесса освоения и выпуска продукции на установившемся режиме, а также отказовых и предельных ситуаций во время функционирования изделий и их составных частей в некоторых номинальных, экстремальных и смешанных режимах; при решении многочисленных задач вероятностно-статистического характера, для обоснования законов распределения определяющих параметров, являющихся случайными величинами (как скалярными, так и векторными), а также нахождении конкретных числовых характеристик установленных законов распределения этих параметров и т. д.
Алгоритмы методов статистического моделирования достаточно просты, поэтому им отдают предпочтение при анализе сложных производственных ситуаций.
Методы статистического моделирования при исследовании качества продукции и технологических процессов. Сущность любого метода, базирующегося на идее статистического моделирования, так или иначе сводится при анализе конкретных показателей качества и надежности различных объектов к многократной имитации процессов функционирования изделий и их составных частей, изготовленных различными технологическими приемами. При этом происходит случайное изменение определяющих факторов, характеризующих конкретные показатели качества и надежности продукции и технологических процессов.
Применение статистического моделирования к анализу показателей качества и надежности в одномерной постановке, когда используемая модель описывается одним определяющим изделие и (или) технологический процесс параметром и при этом рассматривается модель «слабого звена», сводится к многократному исследованию функции не превышения: где дгкр (гг, г2, ..., г&) — критическое (предельное) значение некоторого обобщенного параметра X, являющегося функцией определяющих параметров г1г г2, ..., г&; к — число определяющих параметров (аргументов
функции хкр); хя — некоторое номинальное (рабочее, действительное и т. д.) значение обобщенного параметра X, являющегося функцией определяющих параметров ль — число определяющих параметров.
При этом возможны, по крайней мере, два принципиально различных подхода к решению данной задачи. При первом подходе моделируют значения функции случайных аргументов гх, г2, имеющие плотности распределения вероятностей <р (2!),
Затем подсчитывают число т значений А, которые меньше нуля или равны нулю. Статистическая оценка Р вероятности Р ненаступления предельного состояния изделия или технологического процесса по конкретному показателю качества и (или) надежности находится следующим образом: где т — число реализаций при Л < 0; п — общее число реализаций.
Нижний доверительный предел вероятности не наступления предельной ситуации по количеству реализаций п (при А > 0), числу реализаций т (при А 0) и доверительной вероятности V может быть вычислен при помощи известного соотношения: где С%— число возможных перестановок из т значений функции А (А < < 0) при числе реализаций п (я > <0); Ру — нижний доверительный
предел оценки Р при уровне доверительной вероятности у. Разрешив уравнение (98) при некоторых фиксированных значениях Ру, у, т, получим объемы реализаций п для подтверждения требуемых уровней предельных состояний объектов по рассматриваемым показателям.
Из анализа табл. 6 и 7 следует, что с ростом т (при А < 0) объем потребных реализаций возрастает очень значительно. А для показателей надежности изделий, уровни которых достаточно высоки (Ру > 0,93), даже при т = 0 необходимо чрезвычайно большое число реализаций. Однако при большом числе «электронных выстрелов» в задаче данного типа могут иметь место систематические погрешности при машинных методах формирования случайных величин, что существенно искажает результаты расчетов и требует повторных вычислений для анализа их точности. Кроме того, при достаточно сложных исходных аналитических зависимостях, описывающих величины дгкр и хд, может потребоваться весьма большое машинное время.
В ряде практических случаев бывает предпочтительнее воспользоваться другим подходом к решению данной задачи. По исходным детерминистическим соотношениям и известным законам распределения параметров моделируется статистический ряд значений случайных величин щ = п — число реализаций порядка нескольких сотен). Далее к полученной статистической выборке подбирается подходящая функция распределения вероятностей случайной величины Т). В практических ситуациях всегда приходится иметь дело с ограниченным числом релизаций значения т). Поэтому неизбежны определенные расхождения в смоделированной выборке случайной величины. Вопрос о существенности расхождения обычно решается с помощью критериев согласия: хи-квадрат, омега-квадрат, Колмогорова и др. Для этого выбирают некоторую величину б — меру расхождения теоретического и эмпирического распределения и определяют значение б^ (где у — уровень доверительной вероятности) так, чтобы вероятность события б > б1-7 была равна 1 — у, т. е. Р (б > б1М?) = = 1 — у (где 1 — у — а — уровень значимости критерия, представляющего собой достаточно малую величину). Если полученные после статистической обработки эмпирической выборки (или смоделированной выборки) значение А > А или Р (А > А-у) < <1—у, то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предположение о виде закона должно быть отвергнуто. В противном случае гипотеза о виде закона распределения принимается. С помощью названных выше критериев согласия можно лишь решить вопрос о том, что гипотеза противоречит или не противоречит тому или иному теоретическому закону распределения случайной величины т].
Для обоснования выбора конкрет- | ной статистической модели (закона распределения случайной величины Г|) можно использовать метод статистического моделирования. При этом выбор конкретного теоретического закона распределения для смоделированной выборки случайной величины т] можно осуществить на основе оценок степени близости опытных и теоретических моментов распределения, определяемых по интервальным оценкам эмпирических моментов. Построение доверительных интервалов для эмпирических моментов распределения произвольного момента распределения может быть основано на выделении требуемого интервала из некоторого упорядоченного набора моментов, который можно получить статистическим моделированием эмпирической функции распределения случайной величины т).
Пусть получена эмпирическая функция распределения случайной величины: где — полученные при статистических «испытаниях» значения случайной величины и соответствующие им частоты; п — общее число реализаций при статистическом моделировании выборки случайной величины, в соответствии с заданным теоретичеческим законом, если Р распределено равномерно на отрезке [0, 1]. Процесс моделирования заключается в последовательном получении случайных чисел, равномерно распределенных на интервале
Выбор теоретической кривой распределения осуществляется в следующем порядке. Для наиболее распространенных на практике законов распределения (нормального, равномерного, логарифмически нормального, Вейбулла, экспоненциального, гамма-распределения и др.) определяют первые четыре теоретических момента распределения и выясняют, попали ли они в доверительные интервалы, вычисляемые с некоторым набором доверительных вероятностей уг > у2 > ... > уъ для эмпирических моментов. Далее осуществляют сравнение с доверительными интервалами, начиная с больших уровней доверительных вероятностей у. Если хотя бы один из моментов рассматриваемого теоретического закона распределения выходит из доверительного интервала, то данный закон не может рассматриваться в качестве подходящей статистической модели. Если при сравнении всех четырех моментов ряда теоретических законов распределения окажется, что они все находятся в соответствующих доверительных интервалах с уровнем доверия 7х, то переходят к уровню доверия у2 <С VI и т. д. Приемлемой статистической моделью считается то теоретическое распределение, для которого все моменты попадают в соответствующие доверительные интервалы с наименьшим 7. После обоснования конкретного закона распределения случайной величины т] оценку вероятности ненаступления предельного состояния объекта по конкретному показателю качества определяют по выражению
где ф (т]) — плотность распределения случайной величины т].
Типовой расчет вероятности безотказной работы изделия. Изделие представляет собой осесимметричную гладкую стальную оболочку вращения (сосуд высокого давления), нагруженную равномерным внутренним избыточным давлением. При этом внутреннее давление под действием случайных факторов изменяется случайным образом.
Материал оболочки — сталь с пределом прочности = 1200±10 МПа; диаметр оболочки О — 230±0,5 мм; толщина оболочки к = 3,5 -Ь 0,5 мм; среднее значение действующего напряжения ад в оболочке, рассчитанное по безмоментной теории по величинам И, к и среднему значению давления в сосуде рд = 720 МПа; среднее квадратическое отклонение действующего напряжения 5Д = 86 МПа.
По этим исходным данным требуется определить методом статистического моделирования оценку вероятности ненаступления предельного состояния в оболочке и нижний доверительный предел этой оценки.
1.            Моделируем выборку разрушающих значений напряжений с помощью таблицы случайных чисел (табл. 8). Предполагается, что эти напряжения распределены по нормальному закону. Разрушающее значение напряжения в оболочке принимаем равным пределу прочности конструкционного материала, из которого изготовлена оболочка. Случайные значения п — число «испытаний», т. е. номер реализации; задаемся п = 50) получим по формуле: где <тв и 5Св — оценки среднего значения предела прочности конструкционного материала оболочки и среднего квадратического отклонения; <гв = = 1200 МПа (задано по условию); 50в = 33 МПа (получено как */в поля допуска 0В).
Моделируем первое «испытание» (первую реализацию): для этого из табл. 8 возьмем первое число —1,28 (первое число из первой колонки цифр) и подставим его в формулу (100):
ов1 = 1200 + 33 (—1,28) = 1158 МПа.
Значения случайных чисел при вычислении величин ад$ по формуле (101) возьмем из второй колонки табл. 8 (всё числа подряд, начиная с числа — 1,22). Результаты вычислений сведем в табл. 10.
Таким образом, методом статистического моделирования с помощью таблицы нормально распределенных случайных чисел получены выборки разрушающих и действующих значений напряжений, необходимых для вычисления оценки вероятности ненаступления предельного состояния в оболочке и ее нижнего доверительного предела. Разделив авг на ад$, получим выборочный ряд значений коэффициента условного запаса прочности оболочки. Результаты вычислений сведем в табл. 11.
3.            Вычислим оценку вероятности не-наступления предельного состояния оболочки по выборочной совокупности полученных значений коэффициентов условного запаса прочности в предположении, что случайная величина распределена по нормальному закону.
Информационное обеспечение задач анализа качества и надежности. Для информационного обеспечения задач качества и. надежности продукции и технологических процессов, решаемых методами статистического моделирования, моделируют численные значения параметров (количественных признаков), которые характеризуют конкретные показатели качества и надежности. При практическом анализе и оценке этих показателей количественные признаки, их характеризующие, в общем случае рассматриваются как случайные величины, функции и поля. При этом случайные функции и поля рассматриваются как многомерные случайные величины. Построение адекватных моделей анализа и оценки показателей качества и надежности предполагает так расставить контрольные точки, чтобы дискретные случайные функции и поля были бы достаточно представительными, т. е. чтобы замена случайных функций и нолей набором дискретных точек была правомерной.
Моделирование функций и полей сводится к моделированию одномерных и многомерных случайных величин (случайных векторов).
Моделирование одномерных случайных величин: В качестве исходных данных для формирования случайных величин с различными законами распределения обычно служат равномерно распределенные в интервале (0, 1) случайные числа, которые получаются на ЭВМ программными методами или с помощью физических датчиков случайных чисел. На практике используют весьма разнообразные приемы преобразования случайных чисел с заданным законом распределения. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением. Это положение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей, в соответствии с которой сумма независимых случайных величин при достаточно общих условиях (например, случайные величины могут иметь различные законы распределения) имеет асимптотически нормальное распределение.
Рассмотрим некоторые общие методы получения случайных чисел с требуемым законом распределения с помощью равномерно распределенных случайных величин (чисел). Одним из наиболее распространенных методов получения случайных чисел с требуемым законом распределения является метод нелинейного преобразования обратной функции распределения.
Однако не всегда возможны элементарные преобразования для формирования случайных величин с заданным законом распределения с помощью равномерно распределенных случайных чисел. Например, для случайных величин с нормальным распределением обратная функция не выражается через элементарные функции. В этих случаях обычно используют различные аппроксимации функции.
При количественном анализе качества и надежности объектов различного назначения в ряде случаев опредяляющие параметры не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (а, Ь). В этих случаях имеют место усеченные законы распределения, моделировать которые удобно с помощью метода Неймана. Сущность этого метода заключается в следующем. С помощью датчика равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных чисел выбираются пары из которых формируются преобразованные пары х\1 = а + (Ь — а) х,  Х21 = т2» где — интервал возможных значений случайной величины у с заданной функцией плотности ф (у); ф^ — максимальное значение функции ф (у). В качестве реализации случайной величины берется число х21 из тех пар х\1, х\1 ^ для которых выполняется неравенство *г ^ Ф (***)• Пары, не удовлетворяющие этдму неравенству, отбрасываются.
Одним из наиболее простых и достаточно универсальных приемов формирования случайных чисел является метод кусочной аппроксимации. Пусть требуется получить случайную величину у с плотностью ф (у). Предположим, что область возможных значений у ограничена интервалом (а, Ь), который условно разбит на л достаточно малых под-интервалов (аг, а+1; / = = 0, 1, 2, .... п — 1), таких, что в пределах каждого из них представляется возможным достаточно точно осуществить аппроксимацию каким-либо простым распределением (например, равномерным). Пусть для конкретности выбрано равномерное распределение. Обозначим через вероятность попадания случайной величины у в каждый из подынтервалов. Тогда реализации у% случайной величины у с кусочно-равномерным распределением получаются в такой последовательности: сначала случайным образом с вероятностью выбирается интервал (щ, затем формируется реализация У1 случайной величины, равномерно распределенной в интервале. Искомая реализация получается по формуле.
Случайный выбор интервала с вероятностью означает моделирование дискретной случайной величины, принимающей п значений с вероятностью Р* каждая. Интервал (0, 1) разбивается на л подынтервалов, длиной х1+1 — хг = Рг каждый. С помощью датчика случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1), выбирается некоторая реализация х'г Затем путем последовательного сравнения х\ с XI определяется тот интервал (я*, х*+1), в котором оказывается реализация. В основу данного алгоритма заложен тот факт, что вероятность попадания равномерно распределенной в интервале (0, 1) случайной величины в некоторый подынтервал (Ч, х1+0 равна длине этого подынтервала.
При формировании случайных величин методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все подынтервалы (а а*+1) одинаковыми (Р = 1/л), а число л таким, что п = 2^, где N — целое число, меньшее или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел. При этом подынтервалы должны быть выбраны таким образом, чтобы
При равенстве вероятностей Р* для случайного выбора индекса I можно использовать первые N разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел. С помощью датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций. Первые N = 1о§2 п разрядов чисел х\ используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины а* и а*+1, а затем по формуле у. = а1 + х12 (а1+1 — получается 1-я реализация случайной величины у с требуемым законом распределения.
Изложенный метод достаточно экономичен по количеству необходимых операций, которые не зависят от числа л, т. е. не зависят от точности кусочной аппроксимации.
Моделирование многомерных' случайных величин. При моделировании многомерных случайных величин (случайных векторов) возможны два основных метода: первый базируется на использовании многомерных распределений (метод условных распределений и метод Неймана), второй — на корреляционной теории (метод линейного преобразования, метод канонических разложений и метод разложения в ряд Фурье).
1.            Метод условных распределений основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого случайного вектора. Рассмотрим сначала двумерную функцию плотности распределения, когда случайный вектор имеет только две координаты хг и х2. В этом случае одномерная функция плотности распределения случайной величины хх имеет вид.
Реализации Хц случайной величины Х\ с функцией плотности (112) получаются на основе описанных выше способов моделирования случайных величин с заданным законом распределения. Далее находят условное распределение х2:
Ф (х21хц) = Ф (*ц/*я)/ф (*!); таким образом формируется выборка х%1 случайной величины х с функцией плотности ф (х2/хц). Полученная последовательность пар чисел хг(, х2ь = = 1,2, будет иметь совместную функцию плотности ф (*1, х2).
Аналогичным образом моделируют и многомерные функции плотности Ф (*1. х2, ..., хн). Так, например, если задана трехмерная функция плотности <р ( х2, х3), то выборка троек точек осуществляется в соответствии с функциями плотностей, входящими в следующие соотношения:
Этот метод дает возможность моделировать многомерные случайные величины с произвольными функциями плотности, но использование его связано с вычислительными трудностями, при больших кратностях интегралов он просто неприемлем.
Более предпочтительным является метод Неймана, который обобщен для многомерных случайных величин. По аналогии с одномерными случайными величинами для формирования реализации вектора I = 1, 2, ..., N на ЭВМ вырабатывается N + 1 случайных чисел хг, х2, ..., хн+1, равномерно распределенных в интервалах (ах, Ьг), (а2, 62), ... (ам, Ьы), (0, срт) соответственно, где фт — максимальное значение функции. В качестве реализаций случайного вектора || У11|, I = 1, 2, ..., Ы, распределенного по закону Ф (Уи •••• У^> берутся такие реализации этого вектора, которые удовлетворяют условию Хн+1 < ф («1, х2, ... Хн). Реализации случайных чисел хх, х2, ... Хн, не удовлетворяющие этому условию, отбрасываются.
2.            Метод линейного преобразования в рамках корреляционной теории заключается в том, что после моделирования N независимых случайных величин х1г х2, .... хдг последние подвергаются соответствующему линейному преобразованию, в результате которого полученные преобразованные величины.
Таким же образом определяют элементы всей матрицы. Процедура получения реализаций случайного вектора с заданной корреляционной матрицей сводится к умножению реализаций вектора с независимыми случайными координатами на матрицу. При больших N изложенный метод становится громоздким. В этом случае рекомендуется использовать метод канонического разложения. Сущность моделирования случайного вектора, заданного каноническим разложением в виде
Уг — некоррелированные случайные коэффициенты с параметрами; Фг (0 — система некоторых детерминированных координатных функций;
I — обобщенная координата процесса (времени, длины и т. д.)], достаточно проста. Процесс формирования дискретных реализаций х% (Г) осуществляется непосредственно по формуле (117). В качестве коэффициентов используют выборочные некоррелированные случайные величины с параметрами (0, с^).
Бесконечный ряд (117) приближенно заменяется усеченным конечным рядом.
Для стационарных случайных процессов обычно используют разложение, в котором собственными функциями являются синусы и косинусы (разложение случайных процессов в ряд Фурье).