Методы и модели исследования стабильности технологических процессов при анализе качества продукции
Основные факторы нестабильности технологических процессов. В ходе выполнения технологических процессов как при освоении выпуска продукции, так и при установившемся производстве возможны различные отклонения от заданных маршрутов и требований нормативно-технической документации. Причины таких отклонений достаточно многочисленны. Существуют две группы факторов, которые приводят к этим отклонениям. К первой группе факторов можно отнести:
отсутствие на рабочих местах чертежей, необходимых инструкций на выполнение технологических операций;
не закрепленность конкретных видов работ (операций, переходов) за определенными исполнителями;
неполное завершение предыдущих операций;
несоблюдение заданных по технологическим маршрутным картам последовательности выполнения работ (операций, переходов);
несвоевременное предъявление на контроль первой детали (операции);
нечеткое оформление сопроводительной документации, приводящей к неоднозначному толкованию маршрутных технологий;
использование технологической оснастки, испытательного оборудования, режущего и мерительного инструмента и т. д., не указанных в маршрутных картах;
применение материалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий, не предусмотренных технологическими процессами, в том числе с просроченными сроками годности;
несоблюдение установленных нормативно-технической документацией приемов, методов и режимов обработки изделий и их испытаний;
использование неаттестованных средств контроля и средств технологического оснащения с просроченными сроками годности;
неудовлетворительное состояние средств технологического оснащения, ремонтной базы, испытательного оборудования и т. д.
Эти факторы носят случайный характер. Значительная часть отклонений, обусловленная этими факторами и причинами, их порождающими, в процессе освоения выпуска продукции обычно устраняется путем проведения соответствующих организационно-технических мероприятий. Однако некоторые отклонения не удается устранить достаточно долго.
Ко второй группе факторов, которые следует классифицировать как случайные, можно, например, отнести случайные разбросы: характеристик (физических, геометрических, массовых и т. д.) материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий;
параметров технологических процессов (температур окружающих сред и рабочих тел, давлений рабочих тел и т. д.);
характеристик и параметров средств технологического оснащения, измерительных приборов, режущих и мерительных инструментов, стендового испытательного оборудования и т. д.;
случайные неблагоприятные сочетания допусков в размерных технологических цепочках при изготовлении продукции и т. д.
Вторая группа факторов, имеющих случайную природу, во многих практических ситуациях описывается определенными статистическими закономерностями и может быть учтена при исследовании стабильности технологических процессов в связи с оценкой качества выпускаемой продукции.
Общий подход к оценке стабильности технологических процессов. Общий подход к исследованию стабильности технологических процессов может базироваться на оценке точности изготавливаемой продукции, являющейся важнейшей характеристикой ее качества. При этом точность изготовления продукции оценивается как по «мгновенному» рассеиванию параметров и характеристик изделий, так и по интегральному их рассеянию за некоторый промежуток времени или по некоторым подконтрольным фазовым координатам, характеризующим определенное признаковое пространство, по которому судят о стабильности технологических процессов и качестве изготавливаемой продукции.
Точность технологического процесса ухудшается прямо пропорционально времени его протекания. Это означает, что если в некоторый момент времени 10 точность технологического процесса характеризовалась величиной во, то в следующий момент времени отстающего от на величину А/, точность будет характеризоваться величиной §!, связанной с б0 линейной зависимостью вида, где к — тангенс угла наклона, являющийся случайной величиной.
При такой зависимости между случайными величинами 6„ и б! коэффициент корреляции, где 1 и ок — средние квадратические отклонения случайных величин бх и к.
В действительности, в зависимости от различных условий, позволяющих определять «мгновенные» рассеяния параметров технологических процессов, фактическим точностям присущи случайные колебания относительно некоторых заданных значений. Для выпуска продукции определенного качества технологические процессы должны быть управляемыми. В таких случаях корреляционная связь между случайными величинами 60 и бх неизбежно будет ослабевать по мере увеличения А и тем быстрее, чем чаще будут вноситься соответствующие корректировки в технологический процесс. Коэффициент корреляции при некоторых значениях измеряемых параметров технологических процессов или изготавливаемой продукции в промежутке может быть отрицательным.
Расстоянием между этими кривыми линиями называется некоторое неотрицательное число /, равное максимуму I Фо (О —Ф1 (01 на отрезке [/0, Построим по обе стороны кривой <р (/) полосу шириной 2Д6 (рис. 1, а). Тогда расстоянием от кривой б = фх (() до О = ф0 (/) будет являться половина наименьшей ширины б = ф0 (/), заключающей кривую б = ф! (?). В частном случае, когда 6 = ф0 (/) представляет собой прямую линию, параллельную оси 01, это определение соответствует ширине полосы, равной максимальному отклонению I кривой б = ф! (/) от прямой б = ф0 (/) (рис. 1, б). Данное определение расстояния при решении ряда задач исследования стабильности технологических процессов в практических ситуациях оказывается недостаточным.
В общем случае расстоянием 1-го порядка кривых 6 = <р0 (/) и б = фх (/), для которых существуют непрерывные производные до 1-го порядка включительно, называется наибольший из максимумов выражений.
Данное выше определение расстояния принято называть расстоянием нулевого порядка.
Расстояние первого порядка имеет простой геометрический смысл: оно равно максимальному значению абсолютной величины разности производных первого порядка в некоторой точке ^ (см. рис. 1,е). В этой связи расстояние первого порядка может рассматриваться как мера, характеризующая в некоторой точке 1% максимальную разность направлений кривых б = ф0 (() и б = фг (/) на отрезке /0 < * < 1г. Если считать кривую б = = фо (/) некоторой заданной точностью технологического процесса, а кривую б = фх (?) — фактической точностью этого процесса, то на основании этих данных можно делать интегральную оценку точности как количественную меру стабильности исследуемого технологического процесса. Расстояние первого порядка между б = ф0 (() и б = фх (?) особенно важно оценивать, когда в структуре колебательного процесса (на участке ?0» ^1). характеризующего протекание данного технологического процесса, ярко выражены высокочастотные гармоники с малой
амплитудой. Эти гармоники обычно не дают существенных линейных бткло-нений точности целых классов технологических процессов, но могут приводить к существенным угловым отклонениям фактических точностей этих процессов. В таких случаях расстояния нулевого порядка малы и их можно просто не уловить при исследованиях точностей технологических процессов. В то же время расстояния первого порядка могут быть значительными.
Пример 1. Требуется определить стабильность технологического процесса, если его параметр фактической точности.
Линия фактической точности исследуемого технологического процесса б = фх (/) представляет собой кривую, составленную из двух гармоник: первая с большой амплитудой и большим периодом, а вторая — с малыми периодами и амплитудой. Расстояние нулевого порядка определяется в основном первым слагаемым, а расстояние первого порядка — вторым слагаемым.
Полученное соотношение (42) дает тангенс угла наклона 0 касательной к линии фактической точности технологического процесса (рис. 1, в). Максимальное значение функции (42) находится путем приравнивания ее нулю и последующего решения одним из известных приближенных методов. Приближенно максимум функции (42) можно найти из простых геометрических соображений. Абсолютное значение максимума выражения (42) имеет место вблизи точек, в которых линия фактической точности ф0 (0 технологического процесса пересекает линии заданной точности, отстоя от них на четверть периода второй гармоники. Это соответствует, например, времени / = 60 мин или расстоянию я « 600 мм.
Оценим значения амплитуд:
Следовательно, приближенное значение расстояния первого порядка между заданной и фактической линиями точности технологического процесса равно примерно 15—16°.
В общем случае функцию б = фг (/) в отличие от б = ф0 (/) следует рассматривать как случайную. Будем считать ее дифференцируемой, т. е. имеющей вторую смешанную частную производную от корреляционной функции при равном значении аргументов.
Среднее квадратическое отклонение, характеризующее точность технологического процесса, в предельном случае может являться линейной функцией времени. В общем же случае функцию б = фо (() нельзя считать стационарной. Однако, учитывая, что в процессе выполнения различных технологических операций обычно происходят различные корректировки (смена режущего инструмента, технологического оборудования, обучение и смена обслуживающего персонала и т. д.), в практических ситуациях можно приближенно считать функцию б = ф0 (/) квазистационарной и нормально распределенной.
Для стационарной случайной функции б = фо (0 условие ее дифференцируемости сводится к существованию второй производной от корреляционной функции при нулевом значении аргументов. Полагая стационарную случайную функцию б = ф0 (/) нормально распределенной, для оценки точности технологического процесса можно использовать математический аппарат теории выбросов случайных процессов. Это позволяет для любой некоторой наперед заданной вероятности указать ширину полосы, за которую будут практически исключены недопустимые отклонения точности.
Оценим точность некоторого технологического процесса с шириной полосы 21 при условии, что с вероятностью Р0 в течение времени ^ на участке /0> не было ни одного выброса. Из теории выбросов нормальных случайных процессов известны следующие соотношения:
с = /; Р0 — вероятность нахождения точности технологического процесса в пределах полосы 2/; р" (0) — вторая производная корреляционной функции случайного процесса б = <р0 (?) в точке / = 0; ог — среднее квадратическое отклонение величины I; (— текущее время на участке ?0, (х.
В качестве второй оценки, характеризующей точность технологического процесса, воспользуемся определением расстояния первого порядка в предположении, что стационарная случайная функция б = ф0 (?) дифференцируема. Взаимная корреляционная функция связи случайной функции б = ф0 (?) и ее производной ф0 (?)
равна нулю, т. е. для дифференцируемого стационарного случайного процесса ордината случайной функции и ее производная, взятая в тот же момент времени, являются независимыми случайными величинами. Следовательно, линейное отклонение точности технологического процесса и ее движение относительно заданной линии могут рассматриваться как независимые случайные величины. Корреляционная функция производной процесса также является стационарной случайной функцией. Необходимость определения производных корреляционной функции К (т) требует достаточно тщательного подбора аппроксимирующего выражения К (с), которое для задач рассматриваемого типа обычно берется в виде
Зависимость (46) соответствует случайному процессу, имеющему одну производную. При определении К (т) по опытным данным значения постоянных а и ш0 находят обычно по нескольким характерным точкам. Если положить, что аппроксимирующая функция имеет первый нуль в той же точке /1# что и К (т), и, кроме того.
Таким образом, задача сводится к графическому решению одного уравнения вида (48) с одним неизвестным. При необходимости полученные приближенные значения а и а)0 уточняются методом наименьших квадратов.
Для корреляционной функции К (т) можно получить дисперсию расстояния первого порядка, т. е. колебание фактической точности технологического процесса в виде угла р.
Дважды продифференцировав полученное выражение, после соответствующих преобразований при 5 = 0 получим
В соотношении (49) размерность величины ТС7 должна соответствовать размерности постоянных а и (о0. Обычно углы наклона касательных к линиям фактической точности технологических процессов, настроенных должным образом, невелики. В этих случаях тангенсы можно заменить соответствующими аргументами. Тогда нетрудно перейти к оценке среднего квадратического отклонения в градусах, характеризующего колебание точности технологического процесса:
Полученные меры точности вида (45) и (50) в совокупности характеризуют стабильность технологических процессов.
Типовой расчет оценки точности технологического процесса. Пусть по данным измерения точности выполнения некоторой совокупности операций типового технологического процесса получено семейство 25 реализаций случайной функции фо (0. характеризующей колебание фактической точности технологического процесса. Условно примем, что технологический процесс осуществляется со скоростью 500 м/ч. Измерения на выбранном диапазоне времени 1г проводились через 5 мин. Исходные данные для расчета точности технологического процесса и выводов относительно его стабильности представлены в табл. 2.
Порядок расчета оценки следующий. 1. Найдем зависимость оценки математического ожидания 6 (I) от времени. Для этого записанные в предпоследней строке табл. 2 значения сумм по столбцам делим на число реализаций п — 25. Результаты сведем в табл. 3.
Учитывая, что определение величин 6; (/) (/ = 1,20) проводится с некоторыми ошибками, а также для простоты расчетов приближенно примем оценку математического ожидания 6 (/) равной нулю.
2. Определим статистические дисперсии, где п = 25 — число реализаций случайного процесса 60 (/).
Для этого просуммируем по столбцам табл. 2 квадраты случайных величин 6* (/). Полученные суммы сведем в последнюю строку табл. 2. Затем найденные суммы поделим на п — 25 и вычтем из найденных вторых начальных моментов квадраты соответствующих математических ожиданий. Для получения несмещенных оценок дисперсий результаты умножим на [л/(л—1)] = 25/24. Результаты расчетов представим в виде табл. 4.
Из анализа данных табл. 4 видно, что средние квадратические отклонения величин (г = 1,20) в первой половине измерения точности технологического процесса в 1,5—2,0 раза меньше, чем во второй половине. Это объясняется тем, что в первой половине наблюдений в технологический процесс вводились корректировки более часто, чем во второй, а это приводит к нарушению линейной зависимости среднего квадратического отклонения случайной величины 6 во времени. Следовательно, случайная функция б = фо (/) на подконтрольном участке [/0, /1] является нестационарной. Однако, учитывая ограниченное число реализаций (я = 25) и, как следствие этого, наличие определенного элемента случайности в полученных оценках Б [б (/)] и а [6 (/)], а также сравнительно небольшое изменение во времени среднего квадратического отклонения, для упрощения расчетов будем считать случайную функцию 60 (/) квазистационар ной с определенными значениями оценок математического ожидания и дисперсии, а именно:
б0 = —0,2 мм и Од = 14,6 мм2.
Тогда оценка среднего квадратического отклонения случайной функции, приведенной к стационарной, дб = 3,8 мм.
Для нахождения корреляционных моментов по формуле (51), отвечающих заданным контрольным точкам, перемножим числа, стоящие в соответствующих столбцах табл. 2, складывая алгебраически полученные значения. Затем, поделив каждую сумму на п = 25 и вычтя из нее произведение оценок соответствующих формировать в виде корреляционной матрицы (табл. 5).
4. На основании данных табл. 5 построим нормированную корреляционную матрицу, используя при этом следующую формулу:
Результаты расчетов сведем в табл. 6.
Осредняя результаты по диагоналям табл. 6, найдем оценку нормированной корреляционной функции р (?). Ее значения по соответствующим контрольным точкам сведем в табл. 7.
5. Выберем вид функциональной зависимости, аппроксимирующей корреляционную функцию К |о0 (01» считая функцию дифференцируемой. Наиболее часто корреляционные функции аппроксимируют зависимостями вида:
В задачах рассматриваемого типа обычно используют аппроксимирующую функцию вида (55), соответствующую дифференцируемым случайным процессам, тогда как зависимости вида (53) и (54) не имеют вторых производных. Тогда аппроксимирующая корреляционная функция.
Исследуя полученное выражение (63) на экстремум, можно определить, что максимум выражения (63) имеет место при © — (со’ — а2)1/2. Это соответствует периоду колебания Т = 2я/© ^ ^ 30 мин. Следовательно, на основании исходных данных, представленных в табл. 2, а также полученных по ним количественных результатов, следует заключить, что данный технологический процесс требует подрегулировки по точности примерно через 30 мин.
8. Проведем анализ возможного числа выбросов случайной функции 6 = = фо (0 за пределы некоторых заданных уровней. Для этого найдем вторую производную нормированной корреляционной функции при нулевом значении аргумента. После дифференцирования и несложных преобразований получим за пределы полосы ±2а по всем 25 реализациям N1 = 2-25-100-0,0064 » 32.
Следовательно, во всех 25 реализациях исследуемого технологического процесса длительностью по - 100 мин каждая в среднем может быть около 32 отклонений точности за пределы ±2о = 2*3,8 = 7,6 мм.
Среднее квадратическое отклонение, характеризующее колебание точности технологического процесса как меры его стабильности, представляет собой расстояние первого порядка, определяемого соотношением (50):
а § = 57,3 Кода = 7,8°.
Сравнивая полученное значение = = 7,8° с некоторым заданным нормативным значением, можно судить о точности и стабильности исследуемого технологического процесса.
Изложенный подход к оценке интегральной точности технологических процессов достаточно легко формализуется для типовых технологических процессов. Его использование представляется наиболее эффективным при контроле стабильности типовых технологических процессов в гибких производственных системах (ГПС), насыщенных автоматизированными процедурами, а также автоматическими диагностическими системами.